Закон нормального распределения

1. Размер детали подчиняется закону нормального распределения со средней арифметической 20 мм и дисперсией 0,16. Определить ожидаемый процент брака, если допустимые размеры находятся в пределах от 18 мм до 21 мм. Найти выражение интегральной и дифференциальной функций.

2. Рост студентов института подчиняется закону нормального распределения с математическим ожиданием, равным 174 см и средним квадратическим отклонением 16 см. Определить вероятность того, что рост случайно выбранного студента будет заключен в пределах от 170 см до 180 см. Найти выражение интегральной и дифференциальной функций.

3. Вес студенток института подчиняется закону нормального распределения с математическим ожиданием, равным 59 кг и дисперсией 81. Определить вероятность того, что вес случайно выбранной студентки будет заключен в пределах от 60 до 65 кг. Найти выражение интегральной и дифференциальной функций.

4. Диаметр вишен в корзине подчиняется закону нормального распределения с математическим ожиданием, равным 11 мм и дисперсией 4. Определить вероятность того, что диаметр случайно выбранной ягоды будет заключен в пределах от 10 мм до 13 мм.

5. Длина хвоста арабского скакуна подчиняется закону нормального распределения с математическим ожиданием 94 см и дисперсией 36. Определить вероятность того, что длина хвоста случайно выбранного из питомника скакуна будет заключена в пределах от 92 см до 100 см.

6. Глубина проникания реагента в пропитываемый образец почвы подчиняется закону нормального распределения с математическим ожиданием 14 см и дисперсией 1,44. Определить вероятность того, что в случайно выбранной опытной колонке с почвой реагент проникнет на глубину от 14 см до 15 см.

7. Стандартное отклонение измерений пеленга радиомаяка, выполненное с самолета, составляет . Какова вероятность того, что ошибка пеленга окажется не более ? Решить задачу, предполагая нормальный закон распределения.

8. Вес яблока в партии яблок, поступивших в магазин, – случайная нормально распределенная величина с математическим ожиданием 90 гр. С вероятностью 0,9545 определить среднее квадратическое отклонение случайной величины, если отклонение веса яблок от среднего веса по абсолютной величине не превосходит 10 гр.

9. Средний балл за экзамен студентов института – нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием 4,1. С вероятностью 0,92 определить среднее квадратическое отклонение случайной величины, если отклонение среднего балла от математического ожидания по абсолютной величине не превосходит 0,2.

10. Ошибка взвешивания – случайная нормально распределенная величина с дисперсией 100. Весы заранее настроены на обвес 20 г. Найти вероятность того, что ошибка взвешивания находится в пределах от 15 до 30 г.

11. Случайная величина подчинена закону нормального распределения с математическим ожиданием 120 и дисперсией 49. С вероятностью 0,9973 определить границы изменения значений случайной величины.

12. Удельное содержание витаминов в одном грейпфруте подчинено закону нормального распределения с математическим ожиданием 0,35 и дисперсией 0,16. С вероятностью 0,9545 определить границы изменения этой случайной величины среди всех фруктов, поступивших в магазин для продажи.

13. Известно, что средний расход удобрений на 1 га пашни составляет 75 кг, а среднее квадратическое отклонение расхода равно 4. Считая расход удобрений нормально распределенной случайной величиной, определить диапазон, в который вносимая доза удобрений попадает с вероятностью 0,95.

14. Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины – количества сыра, используемого на изготовление 100 бутербродов, равно 1 кг. Известно, что с вероятностью 0,98 расход сыра на изготовление 100 бутербродов составляет от 950 до 1050 г. Определить среднее квадратическое отклонение расхода сыра на 100 бутербродов.

15. При измерении нормально распределенной случайной величины оказалось, что ее среднее квадратическое отклонение равно 8. Найти математическое ожидание этой величины и вероятность попадания ее в интервал от 95 до 135, симметричный относительно математического ожидания.

16. Длина детали, изготавливаемой на станке, – случайная величина с нормальным распределением. При измерении длины детали оказалось, что ее среднее квадратическое отклонение равно 4 мм. Найти математическое ожидание этой величины и вероятность попадания в интервал от 22 мм до 26 мм, симметричный относительно математического ожидания.

17. Производится измерение диаметра вала без систематических ошибок. Случайные ошибки измерения Х подчинены закону нормального распределения со средним квадратическим отклонением мм. Найти вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 12 мм.

18. Производится взвешивание некоторого вещества без систематических ошибок. Случайные ошибки взвешивания подчинены закону нормального распределения со средним квадратическим отклонением г. Найти вероятность того, что взвешивание будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 10 г.

19. Автомат изготавливает шарики. Шарик считается годным, если отклонение Х – диаметра шарика от проектного размера по абсолютной величине меньше 0,5 мм. Считая, что случайная величина Х распределена нормально со средним квадратическим отклонением мм и математическим ожиданием , найти, сколько будет годных шариков среди ста изготовленных.

20. Деталь, изготовленная автоматом, считается годной, если отклонение ее контролируемого размера от проектного не превышает 5 мм. Случайные отклонения контролируемого размера от проектного подчинены закону нормального распределения со средним квадратическим отклонением 3 мм и математическим ожиданием, . Сколько процентов годных деталей изготавливает автомат?

21. Станок – автомат изготавливает валики, причем контролируется их диаметр Х. Считая, что Х – нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением мм. Найти интервал, в котором с вероятностью 0,9973 будут заключены диаметры изготовленных валиков.

22. Средний размер ступни солдата – новобранца 43 см, а среднее квадратическое отклонение размера равно 4 см. Считая размер ступни солдата нормально распределенной случайной величиной, определить диапазон, в который с вероятностью 0,9545 попадет размер сапог случайно выбранного солдата.

23. Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины – количества мясного фарша используемого на изготовление 50 бифштексов, – равно 5 кг. Известно, что с вероятностью 0,92 расход фарша на изготовление 50 бифштексов составляет от 4,8 кг до 5,2 кг. Определить среднее квадратическое отклонение расхода фарша на 50 бифштексов.

24. Удельное содержание золота в металлическом сплаве подчиняется закону нормального распределения с математическим ожиданием 0,58 и дисперсией 0,005. С вероятностью 0,9973 определить границы изменения этой случайной величины среди всех золотых украшений, продающихся в ювелирном магазине.

25. Процентное содержание белка в зерне пшеницы – случайная, нормально распределенная величина с математическим ожиданием 0,31% и дисперсией 0,25. С вероятностью 0,92 определить границы изменения значений этой случайной величины.

26. Вес ананаса в партии ананасов, продающихся в магазине, случайная величина, подчиненная закону нормального распределения с математическим ожиданием 1,45 кг и дисперсией 0,2 кг. Найти вероятность того, что вес случайно выбранного ананаса находится в интервале (1,3 кг; 1,6 кг).

27. Вес бычка в стаде – случайная нормально распределенная величина. При взвешивании животных обнаружилось, что среднее квадратическое отклонение этой величины равно 6 кг. Найти математическое ожидание этой величины и вероятность ее попадания в интервал (83 кг,89 кг), симметричный относительно математического ожидания.

28. Длина винта, изготавливаемого на станке – автомате, – случайная величина с нормальным распределением. При измерении длины винта обнаружилось, что ее среднее квадратическое отклонение равно 1,7 мм. Найти математическое ожидание этой величины и вероятность попадания в интервал (22 мм, 25 мм), симметричный относительно математического ожидания.

29. Диаметр ствола строевого леса – случайная величина с нормальным распределением. При измерении диаметра ствола обнаружилось, что ее среднее квадратическое отклонение равно 5 см. Найти математическое ожидание этой величины и вероятность попадания в интервал (26 см, 34 см), симметричный относительно математического ожидания.

30. Объем молока, получаемый от коровы за вечернюю дойку, –случайная величина с нормальным распределением. Оказалось, что ее среднее квадратическое отклонение равно 1,2 л. Найти математическое ожидание этой величины и вероятность попадания в интервал (10,5 л,11,5 л), симметричный относительно математического ожидания.