Далее находим частные производные, приравниваем их

нулю и получаем:

(10.8)

Преобразуем (10.8) и получаем так называемую систему

нормальных уравнений:

; (10.9)

.

Решаем систему (10.9) находим искомые параметры a и b.

Из второго уравнения системы (10.9) выражаем b:

. (10.10)

Теперь из первого уравнения системы (10.9) выражаем а:

. (10.11)

Подставляем (10.10) в (10.11) и получаем:

Первый член последнего выражения переносим в левую

часть и получаем:

.

Из последнего выражения находим искомое значение па-

раметра a.

. (10.12)

Определив по формуле (10.12) параметр a, затем из выра-

жения (10.10) находим параметр b.

Рассмотрим второй способ определения параметров a и b.

Он предусматривает предварительное нахождение оценок ко-

Эффициента корреляции и коэффициента регрессии. При этом

уравнение регрессии записывается следующим образом:

, (10.13)

где — среднее арифметическое ряда наблюдений y;

— среднее арифметическое ряда наблюдений x;

ρ y / x — коэффициент регрессии, который находится по сле-

дующей формуле:

, (10.14)

Где и — оценки средних квадратичных отклонений рядов

наблюдений y и x соответственно (о средних квадратических

Отклонениях и их оценках мы уже говорили в главах 2 и 6);

— оценка коэффициента корреляции (о коэффициенте

Корреляции говорилось в главе 2).

Так как в статистике имеют дело с выборками ограничен-

Ного объема, то вычисляют не сами характеристики, а их оцен-

Ки. Об этом мы уже говорили в главе 6. Далее для краткости

слово “оценка” мы будем опускать.

Коэффициент корреляции вычисляется по формуле

, (10.15)

Где — оценка ковариации или корреляционного момента

(о ковариации мы говорили в главе 2).

Корреляционный момент определяется из выражения

, (10.16)

при количестве наблюдений n > 40.

Если n ≤ 40 используется формула

. (10.17)

Напомним, что.

Чем ближе к ±1, тем более тесная линейная связь су-

ществует между рядами наблюдений x и y.

Квадрат коэффициента корреляции называется коэф-

Фициентом детерминации. Часто он более предпочтителен для

Измерения связи, так как его можно применять для измерения

не только линейных, но и нелинейных зависимостей [15]. Коэф-

Фициент детерминации часто выражают в процентах.

Преобразуем формулу (10.13) следующим образом:

. (10.18)

Из сравнения (10.5) и (10.18) получаем:

; (10.19)

, (10.20)

где ρ y / x — тангенс угла наклона прямой к положительному на-

Правлению оси абсцисс;

— отрезок, отсекаемый прямой на оси ординат.

Рассмотрим конкретный пример построения однофактор-

Ной линейной регрессионной модели.

Пример 10.1

Предположим, что мы располагаем зарегистрированными

Данными о хищении огнестрельного оружия и вооруженных

Преступлениях в некотором городе N. Между зарегистриро-

Ванным уровнем хищений огнестрельного оружия и учтенными

Преступлениями, совершенными с применением огнестрельно-

Го оружия, существует прямолинейная корреляционная зави-

Симость. Данные деяния корреллируют между собой главным

Образом потому, что у них практически одни и те же причины.

Оговоримся сразу, что пример, который мы приведем, учеб-

Ный. К тому же из результатов предыдущих исследований мы

Знаем, что линейная корреляционная зависимость между ис-

Следуемыми явлениями существует. Если же это не так, то для

Надежного установления корреляционной зависимости коли-

Чество наблюдений должно быть не менее двадцати.

Исходные данные задачи поместим в табл. 10.1, причем не в

Хронологическом порядке, а по возрастанию числа зарегистри-

рованных хищений огнестрельного оружия (признак фактор x).

Посмотрим, как при этом будут меняться зарегистрированные

Значения числа вооруженных преступлений с применением

огнестрельного оружия (результативный признак y). То есть

Покажем, как применяется способ сопоставления двух парал-

Лельных рядов.

Таблица 10.1

Виды преступлений 1991 г. 1996 г. 1992 г. 1995 г. 1994 г. 1993 г.

Хищения огнестрель-

ного оружия, х

773 1130 1138 1336 1352 1396

Вооруженные

преступления, y

4481 9549 8873 12160 18059 19154

Из табл. 10.1 видно, что при возрастании признака факто-

ра х результативный признак тоже в основном возрастает. Вы-