Сумма двух векторов
К линейным операциям над векторами относятся: сложение, вычитание векторов и умножение вектора на число.
Определение 8.2. Суммой двух векторов 
и 
называется вектор 
, начало которого совпадает с началом вектора , а конец – с концом вектора , если вектор отложен из конца вектора (рисунок 8.3). Обозначается: = + .
|
называется вектор, начало которого совпадает с началом вектора 
, а конец – с концом вектора 
, если каждый последующий вектор 
отложен из конца предыдущего 
для 
= 1, 2, …, n – 1.
Свойства суммы векторов:
|
+ = + (рисунок 8.4).
2. Свойство ассоциативности: ( + ) + = + (
+ ) (рисунок 8.5).
|
3. + 
= .
4. + (− ) = .
Определение 8.3. Разностью двух векторов и (обозначается: − ) называется такой вектор , который в сумме с вектором даёт вектор , т. е. = − , если + = (рисунок 8.6).
Нетрудно заметить, что = − = + (− ).
|
Произведение вектора на число
Определение 8.4. Произведение вектора ≠ 0 на число α ≠ 0 называется вектор (обозначается = α), удовлетворяющий следующим условиям:
а) 
;
б) векторы и коллинеарны;
в) векторы и одинаково направлены при α > 0 и противоположно направлены при α < 0.
Свойства произведения вектора на число.
1) 
.
2) 
.
3) 
.
4) Два вектора и коллинеарны тогда и только тогда, когда = α для некоторого α.
Проекция вектора на ось
Пусть в пространстве задана ось ℓ и некоторый вектор 
(рисунок 8.7). Пусть А 1 – проекция точки А на ось ℓ, В 1 – проекция точки В на ось ℓ.
|
Проекцией вектора на ось ℓ называется величина А 1 В 1 вектора 
, взятая со знаком «+», если совпадает с направлением оси ℓ, и со знаком «−», если противоположно направлен направлению оси ℓ. Обозначается: пр ℓ .Свойства проекции векторов на ось.
1. пр ℓ = 
× cos(
^ ℓ) (рисунок 8.8);
2. пр ℓ ( + ) = пр ℓ + пр ℓ (рисунок 8.9);
3. пр ℓ (
) = пр ℓ + … + пр ℓ ;
4. пр ℓ (
) = (пр ℓ ) 
(рисунок 8.10);
5. пр ℓ (
) = (пр ℓ 
+ … + (пр ℓ ) 
.
|
|
|
Координаты вектора
Пусть в пространстве заданы прямоугольная система координат Oxyz и произвольный вектор . Пусть Х = пр х , У = пр y , Z = пр z . Проекции X, Y, Z вектора на оси координат называют его координатами. При этом пишут = (Х, У, Z).
Теорема 8.1. Для любых точек А (х 1; у 1; z 1) и В (х 2; у 2; z 2) координаты вектора , определяются формулами:
Х = х 2 – х 1, У = у 2 – у 1, Z = z 2 – z 1.
Доказательство. По определению Х = пр х . Если вектор направлен одинаково с осью Ох (рисунок 8.11), то пр х = │ │= 
= х 2 – х 1, т. к. точке А 1 соответствует координата х 1, а точка В – координата х 2.
Если вектор 
направлен противоположно с осью Ох (рисунок 8.12), то прх = −│ │= − = −(х 1 – х 2) = х 2 – х 1.
|
|
Таким образом, для любых точек А (х 1; у 1; z 1) и В (х 2; у 2; z2) координата Х вектора вычисляется по формуле Х = х 2 – х 1.
Аналогично доказываются остальные формулы.
Пусть = (х 1; у 1; z 1), 
= (х 2; у 2; z 2),…, = (хn; уn; zn) – векторы пространства, 
– ненулевые числа. Используя свойства проекции векторов на ось, получим следующие утверждения:
1) 
= ( 
);
2) + + … + = (х 1+…+ хn; y 1+…+ уn; z 1+…+ zn);
3) − = (х 1 – х 2; у 1 – у 2; z 1 – z 2);
4) +... + 
= ( 
);
5) = Þ х 1 = х2, у 1 = у 2, z 1 = z 2.
