Понятие о матрице
Таблица чисел аik вида
, (5.1)
состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей размера m × n. Числа аik называются её элементами. Если m ¹ n, то матрица называется прямоугольной. Если же m = n, то матрица называется квадратной. В частности, если m = 1, n > 1, то матрица (а 11 а 12 … а 1 n) называется матрицей-строкой. Если же m > 1, n = 1, то матрица называется матрицей-столбцом.
Число строк в квадратной матрице называют порядком такой матрицы. Например, матрица 
есть квадратная матрица второго порядка, а матрица 
есть квадратная матрица третьего порядка.
Матрицы будем обозначать большими латинскими буквами. Две матрицы A и B называются равными (А = В), если они одинакового размера и их соответствующие элементы равны. Так, если А = , В = 
и а 11 = b 11, a 12 = b 12, a 21 = b 21, a 22 = b 22, то А = В.
Алгебраические преобразования матриц
Сложение и вычитание матриц
Складывать и вычитать можно только матрицы одинакового размера.
Определение 5.1. Суммой двух матриц А и В одинакового размера m × n называется матрица С размера m × n, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В. Обозначается: А + В = С.
Пример. 
+ 
= 
Определение 5.2. Матрица О размера m × n, элементы которой все равны нулю, называется нулевой матрицей.
Определение 5.3. Разностью двух матриц А и В размера m × n называется матрица С размера m × n такая, что А = В + С. Обозначается: А – В = С. Из определения следует, что элементы матрицы С равны разности соответствующих элементов матриц А и В.
Пример. 
– 
= 
Свойства сложения матриц.
1. Сложение матриц коммутативно, т. е. А + В = В + А для любых матриц А и В размера m × n.
2. Сложение матриц ассоциативно, т. е. (А + В) + С = А + (В + С) для любых матриц А, В, С одинакового размера.
3. А + О = О + А = А для любой матрицы A размера, совпадающей с размером нулевой матрицы О.
Умножение матрицы на число
Определение 5.4. Произведением матрицы A на число α называется матрица α А, элементы которой равны произведению числа α на соответствующие элементы матрицы А.
Пример. Вычислите 2 А – 3 В, если A = 
, В = 
.
2 А – 3 В = 2 
– 3 
= 
– 
= 
.
Умножение матриц
Определение 5.5. Произведением матрицы А размерности m × n и матрицы В размерности n × k, элементы которой сij вычисляются как сумма произведений соответствующих элементов аil i -й строки матрицы А и элементов blj j -го столбца матрицы В, т. е.
cij = ai 1 b 1 j + ai 2 b 2 j + … + ainbnj, i 
{1, 2, …, m }; j {1, 2, …, k }.
Пример.
1) 
= 
; 2) 
= 
;
3) 
= 
.
Определение 5.6. Квадратная матрица порядка n вида называется единичной матрицей и обозначается En.
Свойства умножения матриц
1. Умножение матриц некоммутативно, т. е. AB ¹ BA.
2. Умножение матриц ассоциативно, т. е. A (BC) = (AB) C, если такие произведения существуют.
3. Если A – матрица размера m × n, B – матрица размера n × k, то A × En = A, En × B = B.
Транспонирование матриц
Определение 5.7. Если в матрице
А = 
сделать все строки столбцами с тем же номером, то получим матрицу
Аt = 
которую называют транспонированной к матрице А.
Свойства транспонирования матриц
1. (At) t = A.
2. (A + B) t = At + Bt.
3. (AB) t = BtAt .
4. (
A) t = At .
Пример. Найти 2 At + (AB) t, если А = 
, В = 
.
2 Аt + (AB) t = 2 
+ 
= 2 
+ 
= 
+
+ 
= 
.
