Матрицы и действия над ними

Понятие о матрице

 

Таблица чисел а_ik вида

, (5.1)

 

состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей размера m × n. Числа а_ik называются её элементами. Если m ¹ n, то матрица называется прямоугольной. Если же m = n, то матрица называется квадратной. В частности, если m = 1, n > 1, то матрица (а ₁₁ а ₁₂ … а _{1 n}) называется матрицей-строкой. Если же m > 1, n = 1, то матрица называется матрицей-столбцом.

Число строк в квадратной матрице называют порядком такой матрицы. Например, матрица есть квадратная матрица второго порядка, а матрица есть квадратная матрица третьего порядка.

Матрицы будем обозначать большими латинскими буквами. Две матрицы A и B называются равными (А = В), если они одинакового размера и их соответствующие элементы равны. Так, если А = , В = и а ₁₁ = b ₁₁, a ₁₂ = b ₁₂, a ₂₁ = b ₂₁, a ₂₂ = b ₂₂, то А = В.

 

Алгебраические преобразования матриц

Сложение и вычитание матриц

 

Складывать и вычитать можно только матрицы одинакового размера.

Определение 5.1. Суммой двух матриц А и В одинакового размера m × n называется матрица С размера m × n, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В. Обозначается: А + В = С.

 

Пример. + =

Определение 5.2. Матрица О размера m × n, элементы которой все равны нулю, называется нулевой матрицей.

Определение 5.3. Разностью двух матриц А и В размера m × n называется матрица С размера m × n такая, что А = В + С. Обозначается: А – В = С. Из определения следует, что элементы матрицы С равны разности соответствующих элементов матриц А и В.

Пример. – =

Свойства сложения матриц.

1. Сложение матриц коммутативно, т. е. А + В = В + А для любых матриц А и В размера m × n.

2. Сложение матриц ассоциативно, т. е. (А + В) + С = А + (В + С) для любых матриц А, В, С одинакового размера.

3. А + О = О + А = А для любой матрицы A размера, совпадающей с размером нулевой матрицы О.

Умножение матрицы на число

Определение 5.4. Произведением матрицы A на число α называется матрица α А, элементы которой равны произведению числа α на соответствующие элементы матрицы А.

Пример. Вычислите 2 А – 3 В, если A = , В = .

 

2 А – 3 В = 2 – 3 = – = .

Умножение матриц

Определение 5.5. Произведением матрицы А размерности m × n и матрицы В размерности n × k, элементы которой с_ij вычисляются как сумма произведений соответствующих элементов а_il i -й строки матрицы А и элементов b_lj j -го столбца матрицы В, т. е.

c_ij = a_{i 1} b _{1 j} + a_{i 2} b _{2 j} + … + a_inb_nj, i {1, 2, …, m }; j {1, 2, …, k }.

Пример.

1) = ; 2) = ;

3) = .

Определение 5.6. Квадратная матрица порядка n вида называется единичной матрицей и обозначается E_n.

 

 

Свойства умножения матриц

1. Умножение матриц некоммутативно, т. е. AB ¹ BA.

2. Умножение матриц ассоциативно, т. е. A (BC) = (AB) C, если такие произведения существуют.

3. Если A – матрица размера m × n, B – матрица размера n × k, то A × E_n = A, E_n × B = B.

 

Транспонирование матриц

Определение 5.7. Если в матрице

А =

сделать все строки столбцами с тем же номером, то получим матрицу

А^t =

которую называют транспонированной к матрице А.

Свойства транспонирования матриц

1. (A^t) ^t = A.

2. (A + B) ^t = A^t + B^t.

3. (AB) ^t = B^tA^t .

4. ( A) ^t = A^t .

Пример. Найти 2 A^t + (AB) ^t, если А = , В = .

2 А^t + (AB) ^t = 2 + = 2 + = +

+ = .