Расстояние от точки до прямой

Теорема 3.1. Расстояние d от данной точки М (х ₀; у ₀) до прямой ℓ, заданной уравнением Ах + Ву + С = 0 на плоскости определяется формулой

d = . (3.1)

Доказательство. Пусть в прямоугольной системе координат прямая ℓ имеет уравнение Ах + Ву + С = 0, а точка М – координаты (х ₀; у ₀). Возьмём на прямой ℓ две произвольные точки Е (х ₁; у ₁) и F (х ₂; у ₂). Нетрудно заметить, что

d = h = .

По формуле (1.6) темы 1 имеем

S_MEF = │(x ₂ – x ₁)(y ₀ – y ₁) – (x ₀ – x ₁)(y ₂ – y ₁)│.

По формуле расстояния между точками на плоскости

EF = .

Тогда d = . (3.2)

Рисунок 3.1

Запишем уравнение прямой ℓ по двум точкам E и F:

.

Преобразуем это уравнение в общее уравнение прямой:

 

(у – у ₁)(х ₂ – х ₁) = (х – х ₁)(у ₂ – у ₁),

(у ₂ – у ₁) х + (х ₁ – х ₂) у + (у ₁(х ₂ – х ₁) – х ₁(у₂ – у ₁)) = 0.

 

По условию, общее уравнение прямой ℓ имеет вид Ах + Ву + С = 0,

следовательно, А = m (y ₂ – y ₁),

B = m (x ₁ – x ₂),

C = m (у ₁(х ₂ – х ₁) – х ₁(у ₂ – у ₁))

для некоторого целого числа m ¹ 0.

Тогда из (3.2) имеем

d = =

= = =

= = .

Пример. Пусть прямая ℓ задана уравнением 3 х – 4 у + 10 = 0 и дана точка М (4; 3). Найти расстояние от точки М до прямой ℓ.

Решение. По формуле (3.1) имеем

 

d = = . Ответ: 2.

Взаимное расположение прямых на плоскости

Пусть прямые ℓ ₁ и ℓ ₂ заданы своими общими уравнениями. Рассмотрим эти уравнения как систему двух уравнений первой степени с двумя неизвестными х и у:

(3.3)

Решаем эту систему:

а)

 

(А ₁ В ₂ – А ₂ В ₁) у = С ₁ А ₂ – А ₁ С ₂ . (3.4)

 

б) . (3.5)

 

Возможны следующие случаи:

1) А ₁ В ₂ – А ₂В₁ ¹ 0 т. е. А ₁ В ₂ ¹ А ₂ В ₁ Þ . Тогда из формул (3.4) и (3.5) находим единственное решение системы (3.3):

 

х = , у = . (3.6)

Единственное решение системы (3.3) означает, что прямые ℓ ₁ и ℓ ₂ пересекаются. Формулы (3.6) дают координаты точки пересечения.

2) А ₁ В ₂ – А ₂ В ₁ = 0 т. е. А ₁ В ₂ = А ₂ В ₁ Þ .

2.1) С ₂ В ₁ – С ₁ В ₂ = 0 и С ₁ А ₂ – А ₁ С ₂ = 0.

Тогда А ₁ В ₂ = А ₂ В ₁, С ₂ В ₁= С ₁ В ₂ и С ₁ А ₂ = А ₁ С ₂, откуда , , .

Таким образом, . Тогда А ₁ = kA ₂, B ₁ = kB ₂, C ₁ = kC ₂. Теперь, уравнение прямой ℓ ₁ имеет вид: kA ₂ x + kB ₂ y + kC ₂ = 0 или A ₂ x + B ₂ y + C ₂ = 0.

Следовательно, прямые ℓ ₁ и ℓ ₂, имея одно и то же уравнение, совпадают.

2.2) С ₂ В ₁ – С ₁ В ₂ ¹ 0 или С ₁ А ₂ – А ₁ С ₂ ¹ 0.

Пусть, для определённости С ₂ В ₁ – С ₁ В ₂ ¹ 0, т. е. С ₂ В ₁ ¹ С ₁ В ₂ Þ . Тогда равенство (3.5) имеет вид 0 × х = С ₂ В ₁ – С ₁ В ₂. Следовательно, это уравнение, а значит и система (3.3) решений не имеет. Это означает, что прямые ℓ ₁ и ℓ ₂ на плоскости не пересекаются, т. е. они параллельны. Аналогичный вывод можно сделать в случае, когда С ₁ А ₂ – А ₁ С ₂ ¹ 0.

Итак, если:

1) , то прямые ℓ ₁ и ℓ ₂ пересекаются в точке с координатами (3.6);

2) , то прямые ℓ ₁ и ℓ ₂ параллельны;

3) , то прямые ℓ ₁ и ℓ ₂ совпадают.

Вопросы для самоконтроля

1. Напишите формулу для определения расстояния от точки до прямой.

2. Укажите возможные взаимные расположения двух прямых на плоскости.

3. Условие пересечения двух прямых на плоскости.

4. Условие параллельности двух прямых на плоскости.

5. Условие совпадения двух прямых на плоскости.

Линии второго порядка на плоскости

Эллипс

Линии, уравнения которых в прямоугольной системе координат являются уравнениями второй степени, называются линиями второго порядка. К важнейшим линиям второго порядка относятся эллипс, окружность, гипербола и парабола.

Определение 4.1. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая чем расстояние между фокусами.

Рисунок 4.1

Пусть F ₁(– c, 0) и F ₂(c, 0) – фокусы. Тогда F ₁ F ₂ = 2 c – фокусное расстояние (рисунок 4.1). Постоянную величину, о которой идёт речь в определении эллипса, обозначим 2a.

Пусть M (x, y) – произвольная точка эллипса. Тогда по определению F ₁ M + F ₂ M = 2 a > 2 c, откуда a > c.

Так как F ₁ M = , F ₂ M = , то имеем уравнение + = 2 a.

Преобразуем это уравнение:

()² = (2 a − )²,

(x ² + 2 cx + c ²) + y ² = 4 a ² – 4 a + (x ² –­ 2 cx + c ²) + y ²,

a = a ² – cx.

Возводя в квадрат последнее уравнение, имеем

a ²(x ² – 2 cx + c ² + y ²) = a ⁴ – 2 cxa ² + c ² x ²,

(a ² – c ²) x ² + a ² y ² = a ²(a ² – c ²).

Так как a > c, то a ² – c ² > 0 и можем обозначить b ² = a ² – c ². Тогда

b ² x ² + a ² y ² = a ² b ²,

= 1. (4.1)

Таким образом, координаты любой точки эллипса удовлетворяют уравнению (4.1).

Покажем обратное: если координаты точки M(x, y) удовлетворяют уравнению (4.1), то точка M лежит на эллипсе.

Из (4.1) найдём y ²: y ² = b ²(1 – ).

Тогда F ₁ M = = = = = = = │ │.

Т. к. c < a и из (4.1) ≤ 1, т. е. x ² ≤ a ², │ x │ ≤ a, то . Следовательно, │ │= . Аналогично можно вычислить F ₂ M = .

Теперь F ₁ M + F ₂ M = .

Из уравнения (4.1): b ² > 0 Þ a ² – c ² > 0, т. е. a > c, откуда 2 a > 2 c. Значит, точка M лежит на эллипсе.

Уравнение (4.1) называется каноническим уравнением эллипса. Изображён эллипс с уравнением (4.1) на рисунке 4.2.

Рисунок 4.2

Точки пересечения эллипса с осями координат называются вершинами эллипса. Оси симметрии эллипса (оси Ox и Oy) называют осями эллипса. Точка пересечения осей – центр эллипса. Осями называют также отрезки A ₁ A, B ₁ B. Отрезки OA, OB и их длины называют полуосями. В нашем случае a > b, поэтому а называют большой полуосью, b – малой полуосью. Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстояния к длине большой оси, т. е.

ε = .

Так как 0 c < a, то 0 ε < 1. Фокальными радиусами точки M называют отрезки F ₁ M и F ₂ M. Их длины r ₁ и r ₂ вычисляют по формулам:

 

r ₁ = a + ε x, r ₂ = a – ε x.

 

Уравнение (4.1) можно рассматривать и в случае, когда b > a, оно определяет эллипс с большой полуосью OB = b, фокусы такого эллипса лежат на оси Oy, причём a ² = b ² – c ².

 

Окружность

 

В случае, когда a = b, уравнение (4.1) принимает вид

 

= 1 или x² + y² = a²

 

и определяет окружность радиуса а с центром в начале координат (рисунок 4.3). В этом случае c = 0, поэтому ε = 0.

Из школьного курса известно уравнение окружности радиуса R с центром в точке A ₀(x ₀, y ₀):

 

(x – x ) +(y – y ) = R .

Рисунок 4.3

Такое уравнение называют каноническим уравнением окружности.

Гипербола

 

Рисунок 4.4

Определение 4.2. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Пусть F ₁(– c, 0) и F ₂(c, 0) – фокусы. Тогда F ₁ F ₂ = 2 c – фокусное расстояние (рисунок 4.4). Постоянную величину, о которой идёт речь в определении, обозначим 2 a. Тогда по определению 2 a < 2 c, т. е. a < c.

Пусть M (x; y) – произвольная точка гиперболы. Рассуждая по аналогии с п. 4.1, можем получить уравнение

 

= 1, где b ² = c ² – a ². (4.2)

 

Уравнение (4.2) называют каноническим уравнением гиперболы. Гипербола с уравнением (4.2) изображена на рисунок 4.5. Прямоугольник MNKL, стороны которого MN = LK = 2 a, ML = NK = 2 b, называется основным прямоугольником.

 

Рисунок 4.5

Прямые MK и NL называют асимптотами гиперболы, их уравнения: y = – x и y = x, соответственно. Гипербола имеет две ветви: левую и правую. Центр симметрии гиперболы называется её центром. Оси симметрии гиперболы называются её осями. Одна ось пересекает гиперболу в двух точках (на рисунке 4.5 это т. A ₁ и A ₂), эта ось называется действительной осью гиперболы, другая ось – мнимой осью, она не имеет общих точек с гиперболой. Длины отрезков A ₁ A ₂ и B ₁ B ₂ также называют осями. Величины a и b называются полуосями гиперболы. Если a = b, то гипербола называется равносторонней, её уравнение

x ² – y ² = a ².

Уравнение – = 1 (4.3)

определяет гиперболу с действительной осью Oy (рисунок 4.6).

Гиперболы, определяемые уравнениями (4.2) и (4.3) в одной и той же системе координат, называются сопряжёнными. Эксцентриситет гиперболы – это отношение фокусного расстояния к расстоянию между вершинами гиперболы (т. е. точками пересечения гиперболы с осями). Для уравнения (4.2)

Рисунок 4.6

ε = .

Так как c > a, то ε > 1. Фокальные радиусы точки M гиперболы – это отрезки F ₁ M и F ₂ M. Их длины r ₁ и r ₂:

для правой ветви r ₁ = ε x + a, r ₂ = ε x – a,

для левой ветви r ₁ = – ε x − a, r ₂ = – ε x + a.

Парабола

Определение 4.3. Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой, и не проходящей через фокус.

Возьмём в прямоугольной системе координат точку F (, 0), где p > 0, и пусть она будет фокусом. Директрисой будет прямая x = – (рисунок 4.7). Пусть M (x, y) – произвольная точка параболы. Если K – основание перпендикуляра из точки M к директрисе, то она имеет координаты (– , y). По определению 4.3 MK = MF.

Рисунок 4.7

Тогда = , = , т. к. x ≥ 0.

Возводим уравнение в квадрат и приводим подобные члены:

,

y ² = 2 px. (4.4)

 

Уравнение (4.4) называется каноническим уравнением параболы. Величину p называют параметром параболы. Парабола с уравнением (4.4) изображена на рисунок 4.8. Точка O называется вершиной параболы, ось симметрии – осью параболы. Если парабола имеет уравнение y ² = – 2 px, то её график расположен слева от оси Oy (рисунок 4.9). Уравнения x ² = 2 py и x ² = – 2 py, p > 0 определяют параболы, изображённые на рисунках 4.10 и 4.11, соответственно.

 

 

Вопросы для самоконтроля

1. Дайте определение окружности. Какой вид имеет уравнение с центром в начале координат?

2. Дайте определение эллипса. Какой вид имеет каноническое уравнение эллипса?

3. Что называется эксцентриситетом эллипса и какова его величина?

4. Дайте определение гиперболы. Какой вид имеет каноническое уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси Ох? на оси O y?

5. Что называется эксцентриситетом гиперболы и какова его величина?

6. Какие прямые называются асимптотами гиперболы? Какой вид имеют уравнения асимптот гиперболы, заданной каноническим уравнением?

7. Дайте определение параболы. Какой вид имеет каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси Ох? относительно оси Оу?