Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами удобно записывать в символической операторной форме
, (3-10)
где символ 
назван оператором дифференцирования,
n-ая производная от 
будет 
.
Дифференциальные уравнения высокого порядка, имеющие производные в левой и правой части, в операторной форме примет вид
, (3-11)
где 
,
.
Многочлен 
называют собственным оператором объекта (элемента), а многочлен 
-входным оператором. Собственный оператор характеризует собственное движение описываемого объекта (элемента), то есть движения при отсутствии внешних воздействий. Входной опрератор характеризует воздействие, приложенное к объекту (элементу). Отношение входного оператора к собственному оператору называют передаточной функцией 
объекта (элемента АСР), описываемого линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами.
,
тогда решение уравнения (3-11) может быть найдено в виде алгебраического уравнения
(3-12)
Идею перехода к алгебраическому методу решения дифференциальных уравнений дал английский физик Хэвисайд, который и ввел символ .
Однако при решении ряда задач с не нулевыми начальными условиями использование оператора дифференцирования не давали адекватного ответа.
Строгое математическое обоснование такого перехода дал Пьер Симон Лаплас и этот метод получил название операционного исчисления или метод преобразований Лапласа, согласно которому решение дифференциальных уравнений переводится из плоскости оригиналов (плоскости действий переменной t) в плоскость изображений (переменной S). Выполняя действия над изображением оригинала получают изображение ответа. А затем по изображению ответа ищут его оригинал.
Допустим имеем функцию 
, предположим, что эта функция удовлетворяет условиям Дерихле, существо которых:
а) непрерывность функции и ее производных, это значит в исследуемом интервале функция не имеет разрыва,
б) функция абсолютно интегрируема, т.е. интеграл функции от 0 до ∞ есть конечное число
Возьмем интеграл от функции 
, где 
комплексная переменная,
тогда интеграл уже не будет функцией от 
, но станет функцией от S.
Обозначим 
Этот интеграл назван изображением функции по Лапласу, а то действие, которое отражает этот интеграл, называется прямое преобразование Лапласа. Принято записывать прямое преобразование по Лапласу как 
, которое называют так же L-преобразованием.
Для большого количества функций изображения найдены.
Например, изображение постоянной величины: 
.
будет 
, если в действительной плоскости 
, то в плоскости изображений 1 становится величиной 
.
Изображение производной 
: 
; 
.
Американский математик Карсон предложил ввести преобразования вида 
, то есть практически изменил масштаб величины. Законы, установленные Лапласом, остаются, но при этом 
остается 1, а число 
числом .
Запишем исходное уравнение
(3-13)
в изображениях по Лапласу, умножив обе части уравнения на 
, получим
(3-14)
Проинтегрируем уравнение (3-14) в области от 0 до ∞
(3-15)
Пусть имеем нулевые начальные условия, то есть 
; 
, тогда в изображениях по Лапласу уравнение (3-15) примет вид
(3-16)
или 
(3-17)
Последнее означает, что решение дифференциального уравнения в действительной плоскости –плоскости действительной переменной перевели в плоскость изображения- плоскость комплексной переменной 
, и решают это уравнение как алгебраическое.
Далее по найденному изображению ответа находят его оригинал.
Для нахождения оригинала ответа надо воспользоваться обратным изображением Лапласа
,
для этого существует таблица функций обратных переходов.
Преобразуем дифференциальное уравнение, описывающее движение системы (3-11), по Лапласу, предположив нулевые начальные условия при его решении, введем обозначения:
и 
,
где 
и 
- изображения функции оригинала и
получают
, (3-18)
здесь 
, 
При нулевых начальных условиях 
.
Используя обозначение 
, решение уравнения (3-18) примет вид 
Это уравнение связывает изображения 
выходной координаты системы с изображением 
-входного воздействия.
Функция 
- характеризует динамические свойства системы и называется передаточной функцией 
. Она представляет собой отношение изображения по Лапласу выходной координаты системы к изображению по Лапласу входного воздействия при нулевых начальных условиях. Подобное определение функции не находится в противоречии с ранее данным определением передаточной функции 
, т.к. для решения системы дифференциальных уравнений при нулевых начальных условиях комплексная переменная отождествлена с оператором дифференцирования 
.
Таким образом, зная передаточную функцию системы и определив изображение 
воздействия , приложенного к системе, можно найти изображение выходной координаты системы y(t), а затем, переходя от изображения y(s) к оригиналу , получить процесс изменения выходной координаты при наличии входного воздействия.
Имея передаточную функцию нетрудно определить амплитудно-фазовую характеристику этой системы, заменив 
на 
,
где: 
-частота нанесения входного воздействия и при установившемся колебательном движении системы – частота изменения ее выходной координаты.
