Рассмотрим характеристическое уравнение замкнутой системы n-ой степени с действительными коэффициентами.
(5-7)
где 
, 
,…, 
- корни этого уравнения.
На комплексной плоскости корней (Рис. 5.1) каждому корню соответствует вполне определенная точка или две точки для сопряженных корней.
Рис 5.1 Комплексная плоскость корней.
Теоретически каждый корень 
изображается в виде вектора, проведенного из начало координат в точке . Длина этого вектора равна модулю комплексного числа 
, а угол, образованный вектором с положительным направлением действительной оси, аргументу или фазе комплексного числа – 
.
Изменение положения корня в плоскости комплексного переменного ведет к изменению аргумента- 
.
Положив 
в характеристическом уравнении 
, получим изменение аргумента вектора 
– 
.
Если все корни характеристического уравнения находятся слева от мнимой оси, то согласно теореме Ляпунова система будет устойчива, а при изменении частот 
вектор 
будет поворачиваться в положительном направлении – против часовой стрелки. При изменении частот от -∞ до ∞ изменение вектора будет равно 
,
где 
- степень характеристического уравнения 
, определяющая число его корней, 
- наибольшее изменение аргумента .
При изменении 
от -∞ до ∞ вектор на плоскости комплексного переменного описывает своим концом кривую, которая называется характеристической кривой или годографом вектора .
Уравнение характеристической кривой можно найти, подставив в многочлен 
.
(5-8)
Отделяя в нем действительную часть от мнимой, получим
(5-9)
где 
- действительная часть,
- мнимая часть.
Действительная часть является четной функцией , все степени ее членов четные, начиная с нулевой (первый член 
), а мнимая 
- нечетной функцией .
Поэтому для отрицательных значений
(5-10)
Следовательно, характеристическая кривая симметрична относительно действительной оси, поэтому при построении характеристической кривой можно ограничится лишь положительными от 0 до ∞, тогда угол поворота вектора , т.е. изменение аргумента 
, уменьшится вдвое.
Следовательно, критерий устойчивости можно сформулировать следующим образом: замкнутая АСР будет устойчива, если при возрастании от 0 до ∞ вектор повернется в положительном направлении на угол 
, где - степень характеристического уравнения или, что то же самое, если характеристическая кривая при изменении от 0 до ∞, начиная с положительной действительной оси, обходит последовательно в положительном направлении n-квадрантов комплексной плоскости.
В такой форме критерий устойчивости был предложен А.В.Михайловым в 1938 г.
Характеристическая кривая при изменении от 0 до ∞ будет обходить n квадрантов в положительном положении, если уравнения
; 
имеют все действительные и перемежающиеся корни, т.е. между каждыми двумя соседними корнями уравнения лежит один корень уравнения и наоборот, между двумя соседними корнями уравнения лежит один корень уравнения .
Система будет находится на границе устойчивости, если характеристическая кривая при некотором значении пересекает начало координат, обходя при этом (n-1) квадрантов.(Рис. 5.2)
Рис 5.2 Характеристические кривые.
а) устойчивые системы б)неустойчивая система в) система на границе устойчивости.
Свойства годографа вектора :
1) Годограф представляет кривую, всегда симметричную относительно действительной оси комплексной плоскости. Это следует из того, что 
- функция четная, а - нечетная функция переменной .
2) При 
годограф пересекает действительную ось в точке, отстоящей от начало координат на расстоянии, равном значению -свободного члена характеристического уравнения.
3) Максимально возможное число пересечений полуветви годографа с действительной осью равно 
, при - четном и 
, при нечетном, где - степень характеристического уравнения.
Значение , отвечающее точкам пересечения годографа с вещественной осью, определяются из уравнения 
.
4) Максимально возможное число пересечений полуветви годографа с мнимой осью равно при - четном и 
при нечетном. Значение , отвечающее точкам пересечения годографа с мнимой осью, определяются из уравнения 
.
Методы построения годографа Михайлова. 1) Характеристическая кривая строится последовательно, задаваясь значениями частот от 0 до ∞ в уравнения и .
2) Метод контрольных точек, при котором построение характеристической кривой не обязательно. Вычисления ограничиваются нахождением только точек пересечения годографа с осями. Расположения этих точек позволяет судить об устойчивости системы. Их находят из уравнений и и они должны быть перемежающимися.
