Тема 4 метод сіток для рівняння параболічного типу

Розглянемо змішану задачу для рівняння теплопровідності, а саме: знайти функцію , яка задовольняє рівняння (1.36) , має крайові умови (1.37) і початкову умову (1.38) , (0 < х < l).

Зауваження. До задачі (1.36)-(1.38) приводить зокрема, задача про поширення тепла в однорідному стержні довжиною l. Шляхом введення нової змінної рівняння (1.36) зводиться до вигляду:

,

тому надалі приймаємо а = 1 і будемо розглядати рівняння

 

. (4.1)

 

Ідея методу сіток (або методу скінчених різниць) для необмеженого розв’язання крайових задач для двовимірних диференціальних рівнянь полягає в тому, що:

1) у плоскій області D, в якій шукаємо розв’язок, будується сіткова область D_h, яка складається з однакових комірок (рис. 4.1) і наближає дану область D;

 

Рисунок 4.1

 

2) задане диференціальне рівняння замінюється у вузлах побудованої сітки відповідним рівнянням у скінченних різницях (різницевим рівнянням);

3) на основі крайових умов встановлюються значення шуканого розв’язку в граничних вузлах області D_h.

Розв’язавши отриману систему рівнянь у скінченних різницях, для чого потрібно розв’язати алгебраїчну систему з великою кількістю невідомих, ми отримаємо значення шуканої функції у вузлах сітки, тобто будемо мати чисельний розв’язок нашої задачі.

Побудуємо у півсмузі (0 ≤ х ≤ l) дві сім’ї паралельних прямих (рис. 4.2):

Позначимо , , і наближено замінимо у кожному внутрішньому вузлі похідну різницевим відношенням

, (4.2)

 

а похідну одним із двох різницевих відношень

, (4.3)

. (4.4)

 

Тоді для рівняння (4.1) (для а = 1) отримаємо два типи різницевих рівнянь

 

, (4.5)

 

. (4.6)

 

Для складання рівняння (4.5) була використана схема вузлів – явна схема (рис. 4.3):

 

Для рівняння (4.6) – схема вузлів – неявна схема (рис. 4.4):

Рисунок 4.4

Позначивши , зведемо ці рівняння до вигляду:

,

 

,

 

; (4.7)

 

,

 

,

 

. (4.8)

 

Вибираючи числа у рівняння (4.7) і (4.8), ми повинні враховувати дві обставини:

1) похибка апроксимації диференціального рівняння різницевим повинна бути найменшою;

2) різницеве рівняння повинно бути стійким.

 

Доведемо, що рівняння (4.7) буде стійким для 0 < , а рівняння (4.8) – для будь-якого .

Найпростіший вигляд рівняння (4.7) має для :

 

(4.9)

 

і для

 

. (4.10)

 

Оцінки похибок наближених розв’язків, отриманих з рівнянь (4.9) і (4.10) у смузі , , відповідно мають вигляд:

, (4.11)

 

, (4.12)

 

де - точний розв’язок задачі (1.36) – (1.38),

 

для , ;

 

для , .

 

З наведених оцінок похибок видно, що рівняння (4.10) дає вищу точність розв’язку в порівнянні з рівнянням (4.9). Але рівняння (4.9) має простіший вигляд, окрім того, крок по аргументу для рівняння (4.10) повинен бути значно меншим, що призводить до великого обсягу обчислень. Рівняння (4.9) дає меншу точність, але при цьому кроки і вибираються незалежно один від одного. Рівняння (4.9) і (4.10) дають можливість обчислювати значення функції на кожному шарі за явними формулами через значення на попередньому шарі, неявна схема (4.8) не має цієї властивості.

 

Приклад 4.1 Використовуючи різницеве рівняння (4.9), знайти наближений розв’язок рівняння

,

яке задовольняє крайові умови:

, ()

і початкову умову

().

Розв’язування

Виберемо для аргументу х крок h = 0,1. Оскільки , отримаємо для аргументу t такий крок:

 

.

Помічаємо, що початкова і крайові умови задачі симетричні відносно прямої . Тому і розв’язок буде також симетричним відносно цієї прямої.

Спочатку обчислимо значення функції на нульовому шарі , тобто для та ; 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5.

Результати обчислень зручно подати у вигляді таблиці.

Початковий рядок цієї таблиці заповнюється на основі заданої початкової умови

, .

 

Матимемо такі значення функції :

…

У перший та у останній стовпці записуємо дані крайових умов

,

тобто,

,

.

Решта рядків таблиці послідовно заповнюється на основі розрахункової формули (5.9):

.

Таблиця 4.1 – Розв’язання рівняння теплопровідності методом сіток

 

j	і
	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0
	0	0,0000	0,3090	0,5878	0,8090	0,9511	1,0000	0,9511	0,8090	0,5878	0,3090
	0,005		0,2939	0,5590	0,7695	0,9045	0,9511	0,9045	0,7695	0,5590	0,2939
	0,010		0,2795	0,5317	0,7318	0,8603	0,9045	0,8603	0,7318	0,5317	0,2795
	0,015		0,2659	0,5057	0,6960	0,8182	0,8603	0,8182	0,6960	0,5057	0,2659
	0,020		0,2529	0,4610	0,6620	0,7782	0,8182	0,7782	0,6620	0,4610	0,2529
	0,025		0,2405	0,4575	0,6296	0,7401	0,7782	0,7401	0,6296	0,4575	0,2405

 

При цьому, звичайно, доцільно враховувати симетрію шуканої функції.

Заповнимо перший рядок таблиці, обчислюючи значення шуканої функції за формулою:

 

,

 

використовуючи отримані значення функції з початкового рядка і крайові умови для .

Таким чином, матимемо:

 

;

;

;

;

.

 

Враховуючи те, що шукана функція симетрична відносно прямої , то наступні значення можна записати, не обчислюючи їх:

 

;

;

;

;

.

 

Записуємо отримані значення у перший рядок таблиці. Після цього переходимо до обчислення значень функції на другому шарі за формулою:

 

,

 

використовуючи отримані значення функції з першого рядка (з першого шару) і відповідні крайові умови.

Аналогічно заповнюємо решту таблиці, обчислюючи значення шуканої функції за формулою (4.9).

Оцінка похибки

Для даної задачі:

.

Отже, ,

 

Питання для самоперевірки

1. Сформулюйте змішану задачу для рівняння теплопровідності.

2. Сформулюйте ідею методу сіток.

3. Запишіть для рівняння різницеві відношення.

4. Запишіть для рівняння різницеві рівняння.

5. Зобразіть явну схему вузлів.

6. Зобразіть неявну схему вузлів.

7. Як зміняться різницеві рівняння для , якщо зробити заміну ? Поясніть вибір змінних для такої заміни.

8. Які умови враховують при виборі числа .

9. Доведіть стійкість різницевих рівнянь.

10. Порівняйте точність розв’язку при використанні рівнянь

 

та .

 

Завдання для самостійної роботи

Завдання 4

Використовуючи метод сіток, відшукати наближений розв’язок рівняння теплопровідності

,

яке задовольняє крайові умови:

,

і початкову умову

з чотирма десятковими знаками, вважаючи .

 

1.

 

2.

 

3.

 

4.

 

5.

 

6.

 

7.

 

8.

 

9.

 

10.

 

11.

 

12.

 

13.

 

14.

 

15.

 

16.

 

17.

18.

 

19.

 

20.

 

21.

 

22.

 

 

23.

 

24.

 

25.

26.

27.

28.

29.

30.