Тема 2 зведення рівнянь другого порядку до канонічного вигляду за допомогою заміни змінних 1 страница

Розглянемо лінійне диференціальне рівняння другого порядку з двома незалежними змінними (1.1). Встановити тип цього рівняння можна за допомогою дискримінанта

 

. (2.1)

 

1) Якщо Δ > 0, то рівняння (1.1) є рівнянням гіперболічного типу.

2) Якщо Δ = 0, то рівняння (1.1) є рівнянням параболічного типу.

3) Якщо Δ < 0, то рівняння (1.1) є рівнянням еліптичного типу.

 

 

Приклад 2.1 Встановити тип рівняння:

а)

Розв’язування

– рівняння параболічного типу.

 

б)

Розв’язування

Δ < 0 – рівняння еліптичного типу.

 

Покажемо, що рівняння (1.1) у кожному класі можна звести до найпростішого (канонічного) вигляду. Введемо нові змінні:

 

, . (2.2)

 

Функції φ(x,y) та ψ(x,y) неперервні, двічі диференційовні і якобіан переходу від змінних (x,y) до змінних (ξ,η) відмінний від нуля, тобто:

 

. (2.3)

 

Умова (2.3) є необхідною і достатньою умовою того, що система (2.2) має єдиний розв’язок.

Здійснимо необхідну заміну змінних:

 

(2.4)

 

Підставивши похідні (2.4) у рівняння (1.1) одержуємо

 

або

(2.6)

 

Введемо нові позначення:

 

(2.7)

 

Підставивши рівності (2.7) в рівняння (2.6) знову отримуємо лінійне рівняння другого порядку із невідомою функцією та двома незалежними змінними та :

 

. (2.8)

 

Оскільки

, (2.9)

 

то тип рівняння (2.8) збігається з типом рівняння (1.1).

Слід зауважити, що функції φ(x,y) та ψ(x,y) підбираються так, щоб деякі з коефіцієнтів , , дорівнювали нулеві.

 

 

2.1 Рівняння гіперболічного типу

 

Для рівнянь такого типу функції φ(x,y) та ψ(x,y підбираються таким чином, щоб . Звідси, з врахуванням (2.7), маємо

 

 

(2.10)

 

Розв’яжемо систему (2.10) на відносно і . Одержимо:

. (2.11)

 

 

Розв’язками системи (2.11) є:

 

(2.12)

 

Таким чином, кожне з рівнянь системи (2.11) розпадається на два лінійні однорідні диференціальні рівняння у частинних похідних першого порядку:

 

і , (2.13)

де

, . (2.14)

 

Розв’язки систем (2.13) можна знайти, розв’язавши так звані диференціальні рівняння характеристик:

 

(2.15)

 

та

 

. (2.16)

 

Функції та диференціальних рівнянь (2.15) та (2.16) мають неперервні частинні похідні до другого порядку включно, що випливає з припущень про коефіцієнти . Тому існують загальні інтеграли і рівнянь (2.15) та (2.16) і їхні ліві частини також мають неперервні похідні до другого порядку включно. Функції та і будуть шуканими розв’язками систем (2.13), а отже і (2.10).

Таким чином ми знаходимо заміну і , яка обертає в нуль коефіцієнти і рівняння (2.8). При цьому не обертається в нуль в жодній точці, що безпосередньо випливає з рівності (2.9).

Тому шукана канонічна форма така

 

. (2.17)

 

Приклад 2.2 Звести до канонічного вигляду рівняння

 

.

Розв’язування

Для визначення типу рівняння складемо його дискримінант. Оскільки

, то дане рівняння є рівнянням гіперболічного типу.

Диференціальні рівняння характеристик та їх загальні інтеграли такі:

1) ; ; , звідси ;

2) ; ; , звідси .

 

Згідно з (2.4) маємо

;

.

Підставимо знайдені похідні у наше рівняння, маємо

 

, або

.

 

Поділимо останній вираз на , отримаємо:

.

 

Оскільки , остаточно одержуємо канонічний вигляд даного рівняння

.

 

2.2 Рівняння еліптичного типу

 

Якщо рівняння (1.1) є рівнянням еліптичного типу, то існують такі функції та , що і дане рівняння зводиться до канонічної форми

 

. (2.18)

 

Опишемо процедуру знаходження цих функцій.

Спочатку формально, як і у попередньому випадку, приводимо рівняння (1.1) до вигляду

 

(2.19)

 

При цьому нові змінні та будуть комплексно спряженими

 

, , (2.20)

 

оскільки диференціальні рівняння характеристик (2.15) та (2.16) у випадку, що розглядається, мають вигляд

 

, . (2.21)

 

Таким чином, рівняння еліптичного типу має лише уявні характеристики.

Виконаємо нову заміну змінних

 

, , (2.22)

 

внаслідок якої рівняння (2.19), а отже і рівняння (1.1) зводиться до шуканої канонічної форми з точністю до зміни позначень

 

.

 

Приклад 2.3 Звести до канонічного вигляду рівняння

 

Розв’язування

Для визначення типу рівняння складемо його дискримінант. Оскільки

, то дане рівняння є рівнянням еліптичного типу.

Диференціальні рівняння характеристик та їх загальні інтеграли такі:

1) ; ; , звідси ;

2) ; , звідси .

 

Отримані змінні комплексні, тому згідно з (2.22) знаходимо остаточну заміну змінних

 

, .

Згідно з (2.4) маємо

 

,

.

 

Підставимо знайдені похідні у наше рівняння, маємо

 

,

.

 

2.3 Рівняння параболічного типу

 

Якщо рівняння (1.1) є рівнянням параболічного типу, то функції та підбираються такі, що , і дане рівняння зводиться до канонічної форми

 

. (2.23)

 

Опишемо процедуру знаходження цих функцій.

Знаходимо функцію , яка є розв’язком рівняння

(2.24)

 

Як і у випадку гіперболічного рівняння припускаємо, що та розв’яжемо рівняння (2.24) відносно . При цьому отримуємо лише одне рівняння характеристик

 

, (2.25)

 

оскільки .

Нехай є загальний інтеграл рівняння (2.25), звідки . Інша змінна вибирається довільним чином за умови, що і перетворює на нуль коефіцієнт .

 

 

Приклад 2.4 Звести до канонічного вигляду рівняння .

Розв’язування

Для визначення типу рівняння складемо його дискримінант. Оскільки

, то дане рівняння є рівнянням параболічного типу.

Складемо згідно з (2.25) диференціальне рівняння характеристик

, , звідки .

 

Рівняння для другої незалежної змінної можна взяти у вигляді , оскільки за такого вибору якобіан

 

 

відмінний від нуля в усіх точках площини , крім точок осі і згідно з (2.7) перетворює на нуль коефіцієнт .

Згідно з (2.4) маємо

 

;

;

.

 

Підставимо знайдені похідні у наше рівняння, маємо

 

.

Розглянемо декілька прикладів на зведення рівнянь до канонічного вигляду в системі аналітичних обчислень Maple

Приклад 2.5 Звести до канонічного вигляду рівняння

.

Розв’язування

Розв’язуємо задачу в системі аналітичних обчислень Maple. Задаємо рівняння

> a[1]:= 4;a[2]:=4;a[3]:=1;a[4]:=0;a[5]:=-2;a[6]:=0;a[7]:=0;

> equ:=a[1]*diff(u(x,y),x,x)+a[2]*(x,y diff(u(x,y),x,y)+ +a[3]*diff(u(x,y),y,y)+a[4]*diff(u(x,y),x)+a[5]*diff(u),y)+ +a[6]*u(x,y)+a[7]=0;

equ:=

> eq:=lhs(equ);

equ:=

Обчислюємо матрицю старших коефіцієнтів і її визначник

 

> A:= linalg[matrix](2,2,[coeff(eq,diff(u(x,y),x,x)), coeff(eq,diff(u(x,y),x,y))/2, coeff(eq,diff(u(x,y),x,y))/2, coeff(eq,diff(u(x,y),y,y))]);

> Delta:=simplify(linalg[det](A));

Оскільки визначник матриці старших коефіцієнтів , то тип рівняння – параболічний.

Формуємо характеристичне рівняння і розв’язуємо його.

> A[1,1]*z^2-2*A[1,2]*z+A[2,2]=0;res1:=solve(A[1,1]*z^2-2*A[1,2]*z+A[2,2],z);

> subs(y=(x),res1[1]);res2:=dsolve(diff(y(x),x)=%,y(x));

Одержали одне сімейство характеристик. Вводимо заміну змінних.

> res2:=subs(y(x)=y,res2);

> itr:={xi=solve(res2,_C1),eta=y};

itr:=

Зводимо задане рівняння до канонічного вигляду

> tr:=solve(itr,{x,y}); PDEtools[dchange](tr,eq,itr,[eta,xi],simplify)=0;

tr:=

Зауваження: Якщо вибрати другу заміну змінних

> itr:={xi=solve(res2,_C1),eta=x};

itr:=

то одержимо рівняння виду:

> tr:=solve(itr,{x,y});

PDEtools[dchange](tr,eq,itr,[eta,xi],simplify)=0;

tr:=

Приклад 2.6 Звести до канонічного вигляду рівняння

 

Розв’язування

Розв’язуємо задачу в системі аналітичних обчислень Maple. Задаємо коефіцієнти нашого рівняння і саме рівняння

 

> a[1]:= 3;a[2]:=2;a[3]:=-1;a[4]:=2;a[5]:=3;a[6]:=0;a[7]:=0;

>equ:=a[1]*diff(u(x,y),x,x)+a[2]*diff(u(x,y),x,y)+a[3]*diff(u(x,y),y,y)+a[4]*diff(u(x,y),x)+ +a[5]*diff(u(x,y),y)+a[6]*u(x,y)+a[7]=0;

equ:=

> eq:=lhs(equ);

eq:=

Обчислюємо матрицю старших коефіцієнтів і її визначник

> A:= linalg[matrix](2,2,[coeff(eq,diff(u(x,y),x,x)), coeff(eq,diff(u(x,y),x,y))/2, coeff(eq, diff(u(x,y),x,y))/2, coeff(eq,diff(u(x,y),y,y))]);

> Delta:=simplify(linalg[det](A));

Оскільки визначник матриці старших коефіцієнтів , то тип рівняння – гіперболічний.

Формуємо характеристичне рівняння і розв’язуємо його.

 

>A[1,1]*z^2-2*A[1,2]*z+A[2,2]=0;res1:=solve(A[1,1]*z^2-2*A[1, 2]*z+A[2,2],z);

> res2:={seq(dsolve(diff(y(x),x)=res1[i],y(x)),i=1..2)};

> res2:=subs(y(x)=y,res2);

Таким чином, ми одержали дві характеристики. Виконуємо заміну змінних.

> {seq(solve(res2[i],_C1),i=1..nops(res2))};

> itr:={xi=solve(res2[1],_C1),eta=solve(res2[2],_C1)};

Тепер зводимо задане рівняння до канонічного вигляду.

>tr:=solve(itr,{x,y});PDEtools[dchange](tr,eq,itr,[eta,xi], simplify)=0;

Приклад 2.7 Звести до канонічного вигляду рівняння

Розв’язування

Задаємо рівняння

> a[1]:=3;a[2]:=2;a[3]:=1;a[4]:=2;a[5]:=3;a[6]:=0;a[7]:=0;

>equ:=a[1]*diff(u(x,y),x,x)+a[2]*diff(u(x,y),x,y)+a[3]*diff(u(x,y),y,y)+[4]*diff(u(x,y),x)+ +a[5]*diff(u(x,y),y)+a[6]*u(x,y)+a[7]=0;