Тема 2 зведення рівнянь другого порядку до канонічного вигляду за допомогою заміни змінних 4 страница

 

3.3 Розв’язання методом Фур’є першої крайової задачі

для рівняння поширення тепла у нескінченному стержні

 

Запишемо рівняння теплопровідності

, < х < , t > 0, (3.38)

де .

Для знаходження розподілу температур у необмеженому з обох кінців стержні крім рівняння (3.38) необхідно ще задати початкову умову, тобто потрібно задати температури усіх точок стержня в початковий момент часу t.

Нехай початкова умова має вигляд:

 

, < х < , (3.39)

де – задана абсолютно інтегровна для функція.

Необхідно знайти функцію , визначену для , t 0, яка задовольняє рівняння (3.38) і початкову умову (3.39).

Для розв’язання рівняння (3.38) скористаємося методом Фур’є, тобто, будемо шукати функцію у вигляді добутку двох функцій, з яких одна залежить тільки від часу t, а друга – від координати х.

Отже,

 

. (3.40)

 

Підставимо цей розв’язок у рівняння (3.38), для чого спочатку обчислимо:

і .

 

Підставивши ці значення похідних у рівняння (3.38), отримаємо тотожність:

,

або

.

 

Ліва частина цієї тотожності залежить тільки від t, а права – тільки від х, тому ця рівність можлива за умови, що кожна частина її дорівнює невідомій поки що, сталій величині, яку позначимо через (). Тоді:

 

. (3.41)

 

Звідки отримаємо два звичайні лінійні однорідні диференціальні рівняння для знаходження функцій T(t) і Х(х).

 

, (3.42)

 

. (3.43)

 

Загальний розв’язок рівняння (3.42) має вигляд:

 

, (3.44)

 

де С₁ – невідома стала.

Загальний розв’язок рівняння (4.43) має вигляд:

 

, (3.45)

 

де С₂, С₃ – невідомі сталі, причому у цьому випадку вони залежать від , тобто , .

Підставивши значення (3.44) і (3.45) у розв’язок (3.22), ми отримаємо нескінченно незчисленну множину загальних розв’язків рівняння (3.20)

, (3.46)

 

кожен з яких відповідає деякому значенню довільного параметра з інтервалу .

Позначимо:

 

, .

Тоді

 

. (3.47)

 

Враховуючи те, що у випадку необмеженого стержня крайові умови відсутні, параметр набуває не дискретних значень, а всіх значень з інтервалу , то розв’язок рівняння (3.20) запишемо не у вигляді суми загальних розв’язків (3.47), а у вигляді інтеграла за :

 

. (3.48)

 

Правильність цього розв’язку можна перевірити шляхом безпосереднього підставлення (3.48) у рівняння теплопровідності (3.20).

Щоб задача була розв’язана однозначно, необхідно ще визначити невідомі функції і так, щоб функція (3.48) задовольняла початкову умову (3.21). Для цієї мети використаємо початкову умову (3.21), яка має вигляд:

,

 

і підставимо її у розв’язок (3.48), дістанемо:

 

. (3.49)

 

З другого боку, запишемо інтеграл Фур’є для функції :

. (3.50)

 

Порівнюючи рівність (3.49) з інтегральною формулою Фур’є для функції (3.50), знайдемо коефіцієнти і

 

,

(3.51)

.

 

Підставимо значення і з (3.51) у (3.48), отримаємо:

 

тобто,

. (3.52)

 

Ми отримали розв’язок (3.52), який одночасно задовольняє і рівняння (3.20), і початкову умову (3.21).

Вираз (3.52) можна дещо спростити, оскільки внутрішній інтеграл можна обчислити. Крім того, враховуючи те, що в цьому інтегралі функції та - парні відносно , вираз (3.52) перепишемо так:

 

. (3.53)

 

Щоб обчислити внутрішній інтеграл у виразі (3.53), спочатку розглянемо та обчислимо декілька невласних інтегралів.

а) Інтеграл Ейлера-Пуассона

Обчислимо інтеграл

. (3.54)

 

Позначимо його так:

 

. (3.54^/)

 

Введемо нову змінну, тобто покладемо , де – поки що сталий параметр, тоді . Інтеграл (3.54^/) матиме вигляд:

 

. (3.55)

 

Почнемо тепер змінювати параметр і помножимо обидві частини рівності (3.55) на вираз , матимемо

 

,

або

.

 

Інтегруємо отримане рівняння за змінною в межах від 0 до

 

.

Але

.

Отже,

.

Змінимо в подвійному інтегралі порядок інтегрування, дістанемо:

 

. (3.56)

 

Обчислимо спочатку внутрішній інтеграл в (3.56)

 

.

 

Підставимо отримане значення в (3.56), матимемо:

 

.

 

Звідки

. (3.57)

 

б) Обчислимо тепер інтеграл:

 

,

 

тобто

. (3.58)

 

в) Розглянемо тепер такий інтеграл:

 

. (3.59)

 

Інтеграл (3.59) будемо вважати функцією від параметра і позначимо його , тобто:

 

. (3.59^/)

Продиференціюємо (3.59^/) за параметром , дістанемо:

 

.

 

Обчислимо інтеграл у правій частині отриманої рівності, використовуючи метод інтегрування частинами, дістанемо:

 

.

 

Отже,

.

 

Маємо диференціальне рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними:

 

.

Інтегруючи, матимемо:

,

звідки

. (3.60)

Знайдемо значення константи С. Нехай , тоді . З другого боку,

 

.

Отже,

.

 

Підставивши значення С в (3.60), матимемо:

 

. (3.61)

 

Використаємо інтеграл (3.61) для обчислення внутрішнього інтеграла у виразі (3.53), який має вигляд:

 

.

 

Покладаючи у внутрішньому інтегралі, який береться за замінною

і ,

дістанемо, що

 

.

 

Отже, розв’язок рівняння (3.20), що задовольняє початкову умову (3.21), матиме вигляд:

 

,

або

. (3.62)

Формула (3.62) є розв’язком поставленої задачі про розподіл температур у різні моменти часу для будь-яких точок необмеженого з обох кінців стержня, якщо відомий початковий розподіл температур.

Зауваження. Розглянуті задачі за своїм фізичним змістом – це охолодження нескінченного стержня з теплоізольованою бічною поверхнею, нагрітою попередньо до температури . Тому його температура є функцією, спадною у часі.

 

 

3.4 Приклади розв’язання задачі Коші для рівняння теплопровідності

Приклад 3.1 Знайти розв’язок рівняння теплопровідності.

, < х < , t>0 (3.63)

 

який задовольняє початкову умову

. (3.64)

Розв’язування

Скористаємося формулою (3.62), тобто запишемо розв’язок задачі (3.63), (3.64) у вигляді:

 

.

 

Перепишемо цей розв’язок так:

 

.

Використовуючи початкову умову (4.64), отримаємо:

 

,

. (3.65)

 

Розглянемо кожен з інтегралів і спростимо їх.

 

 

 

Підставимо отримані значення інтегралів у вираз (3.64), дістанемо

,

 

, (3.66)

де .

Знову розглянемо кожен з інтегралів у виразі (3.66). За властивістю адитивності маємо:

 

.

Оскільки

 

.

 

Аналогічно для другого інтеграла матимемо:

 

 

= .

 

Оскільки

 

,

а

=

= .

 

Тоді

,

тобто,

, (3.67)

де .

Зокрема, якщо , то:

 

, (3.68)

де .

 

Профіль температури в заданий момент часу визначається кривою

 

, (3.69)

 

де z є абсцисою точки, в якій визначається температура, якщо за одиницю довжини в залежності від береться значення , причому інтеграл називається функцією Лапласа. Для її обчислення складені таблиці для значень . Якщо >5, то покладають >5) = 0,5. Функція - непарна, тобто . , .

Формулу (3.67) для довільних можна подати у вигляді:

 

. (3.70)

 

Звідки видно, що в точці х = 0 температура весь час стала і дорівнює пів сумі початкових значень справа і зліва, оскільки .

Приклад 3.2 Знайти розв’язок задачі Коші

 

, < х < , t>0 (3.71)

 

 

. (3.72)

 

Розв’язування

Функція , яка задає початкову умову, абсолютно інтегровна, тому для відшукання можна застосувати формулу (3.62):

 

 

 

 

тобто,

, (3.73)

де

- функція Лапласа, причому .

Приклад 3.3 Знайти розв’язок рівняння коливання струни , яке задовольняє початкові умови , , коли та і крайові умови , .

Розв’язування

Визначимо рівняння.

> Eq:=diff(u(x,t),t$2)=a^2*diff(u(x,t),x$2);

Розв’язок будемо шукати методом розділення змінних.

> pdsolve(Eq,HINT=X(x)*T(t));

В одержаному результаті виконання команди вираження спочатку вказано, в якому вигляді шукається функція , а потім в квадратних дужках після ключового слова where перераховуються умови, яким задовольняють функції Х(х) і T(t) .

Задаємо рівняння для функції Х(х), замінивши в ньому для зручності змінну середовища на .

 

> Eq1:=diff(X(x),`$`(x,2))=-lambda^2*X(x);

Розв’язуємо це рівняння відносно Х(х), врахувавши початкові умови, а саме: оскільки U(0,t)=X(0)T(t)=0, то X(0)=0. Одержимо наступне.

 

> dsolve({Eq1,X(0)=0},X(x));

Параметр має бути таким, щоб виконувалась і умова X(l)=0. Але перш ніж розв’язувати відповідне рівняння (відносно ), присвоюємо змінній середовища , яка відповідає за пошук всіх розв’язків рівняння, значення .

 

> _EnvAllSolutions:=true;

> solve(sin(lambda*l)=0,lambda);

В цьому виразі змінна середовища " нумерує" власні числа.

Задамо залежність, яка визначає власні числа краєвої задачі.

> nu:=n->Pi*n/l;

Визначимо власні функції – такі функції, які відповідають власним числам задачі.

 

> X:=(x,n)->sin(x*nu(n));

Повертаємось до функції T(t), задаємо і розв’язуємо рівняння для неї.

> Eq2:=diff(T(t),`$`(t,2))=-a^2*lambda^2*T(t);

> dsolve({Eq2,D(T)(0)=0},T(t));

> T:=(t,n)->cos(nu(n)*a*t);

Розв’язок рівняння будемо шукати у вигляді ряду за власними функціями.

> U:=(x,t)->Sum(A[n]*X(x,n)*T(t,n),n=1..infinity);

Загальний розв’язок хвильового рівняння згідно з узагальненим принципом суперпозиції шукається за формулою:

 

> U:=(x,t)->Sum((C[n]*cos(a*Pi*n*t/l)+ +D[n]*sin(a*Pi*n*t/l))*sin(Pi*n*x/l),n=1..infinity);

> a:=1;l:=Pi;

> U(x,t);