Розрахунок валів для запобігання поперечним коливанням

Більшість швидкохідних валів знаходяться під дією змінних за модулем або напрямом сил, перпендикулярних до осі обертання, на­приклад сил, спричинених дисбалансом встановлених на них деталей. Частота таких збурюючих сил переважно дорівнює частоті обертання вала. Якщо частота збурюючих сил стає рівною частоті власних коли­вань вала, то настає явище резо­нансу, коли амплітуда коливань різко зростає і може досягнути та­кого значення, при якому відбудеться руйнування вала. Кутова швидкість вала, що відповідає ре­зонансним коливанням, називаєть­ся критичною кутовою швидкістю ω_кр.

Розрізняють згинальні та кру­тильні коливання валів. Крутильні коливання мають суттєве значення під час розрахунків валів із вели­кими приєднаними до них масами, наприклад роторів потужних тур­бін.

Розрахунок валів для запобіган­ня поперечним коливанням полягає у перевірці умови відсутності резонансу під час усталеного режиму роботи. Відповідно до цієї умови фактична кутова швидкість обертання не повинна знаходитись у межах від 0,7 · ω_κρ до 1,3 · ω_кр, тобто

0,7 · ω_κρ > ω > 1,3 · ω_кр. (13)

Критичну кутову швидкість вала визначимо на основі таких мір­кувань. Припустимо, що на валу симетрично щодо опор розміщений диск масою m, центр ваги якого зміщений відносно геометричної осі обертання на величину е (р.31.11 а).

Під час обертання вала під дією відцентрової сили F_v на диск відбувається його поперечний згин. При кутовій швидкості ω прогин вала буде у (рис. 31.11, б), а відцентрова сила F_v = m · ω² · (у + е). (14)

Відцентрову силу F_v зрівноважує сила поперечної пружності вала

F_np = k · y, (15)

де k – згинальна жорсткість вала (сила, що спричинює прогин вала на 1мм).

З усталеним режимом обертання вала зберігається умова F_v = F_np, тобто

m · ω² · (y + e) = k · y,

звідки можемо дістати вираз для прогину вала: у = m · ω² · e / (k – m · ω²). (16)

З аналізу виразу (16) випливає, що при k = m · ω² прогин у = ∞, тобто наступає резонанс. Резонансна, або критична, кутова швидкість вала

. (17)

Формулу можна подати і в іншому вигляді. Якщо взяти m = G / g, де G – власна вага диска, g – прискорення вільного падіння, a G / k = y_ст – статичний прогин вала під дією власної ваги диска, то

. (18)

Для схеми на рис. 31.11, б згинальна жорсткість вала може бути визначена, якщо записати прогин вала у вигляді

у = F_v · l ³ / (48 ·E ·I) = k ·y · l ³ / (48 ·E ·I).

Звідси маємо k = 48 ·E ·I / l ³. (19)

Отже, маючи критичну кутову швидкість ω_κρ вала заданих розмі­рів, за умовою (13) можна перевірити відсутність резонансу при усталеному режимі обертання з кутовою швидкістю ω.

Aналіз формули (16) показує, що при ω < ω_κρ (дорезонансний режим обертання вала) знаки е та у однакові, що від­повідає обертанню вала за схемою рис. 31.11, б. Якщо ω > ω_κρ (зарезонансний режим обертання вала), знаки при е та у протилежні. В цьому випадку при ω → ∞ y → – е, тобто центр ваги (ц. в.) диска наближається до геометричної осі обертання вала (рис. 31.11, в). Таке явище називають самоцентруванням вала в закритичній області кутових швидкостей.

Більшість валів працює в докритичній області. Щоб зменшити не­безпеку резонансу, треба підвищити згинальну жорсткість валів і тим самим збільшити критичну кутову швидкість. При високих швид­костях обертання, наприклад у швидкохідних центрифугах та турбі­нах, застосовують вали, що працюють у закритичній області. В таких випадках слід передбачати додаткові спеціальні пристрої, що зменшу­ють прогини валів під час переходу через резонансну область.