Тема 2. Нелинейная регрессия

 

1. Рассчитать параметры следующих функций:

- степенной;

- равносторонней гиперболы;

- показательной.

2. Найти показатели тесноты связи по каждой модели.

3. Оценить каждую модель через показатель детерминации, F – критерий Фишера, ошибку аппроксимации и выбрать наилучшую из них.

 

Регрессия в виде степенной функции имеет вид: .

Для оценки параметров модели линеаризуем модель путем логарифмирования:

.

Обозначим . Тогда получим: . Для расчетов составим таблицу 3.

 

Таблица 3.

Номер региона	X	Y	ХY
	1,504	4,231	6,364	2,262	17,901	4,228	68,6	0,04	0,29
	1,775	4,066	7,217	3,151	16,532	4,071	58,6	0,09	0,51
	1,740	4,137	7,198	3,029	17,115	4,092	59,9	7,29	4,31
	1,974	3,953	7,803	3,897	15,626	3,957	52,3	0,04	0,38
	1,825	3,948	7,296	3,329	15,984	4,042	56,9	5,76	4,40
	1,792	4,045	7,249	3,211	16,362	4,062	58,1	1,00	1,75
	2,054	3,932	8,076	4,219	15,461	3,910	49,9	1,21	2,16
Сумма	12,664	28,362	51,203	23,098	114,98	28,362	404,3	15,43	13,80
Среднее значение	1,809	4,052	7,315	3,300	16,426	-	-	-	-

 

Запишем систему нормальных уравнений:

.

Отсюда , ; ,

Получаем уравнение регрессии: .

Выполнив потенцирование, получим:

.

Параметр означает коэффициент эластичности, который показывает, что с ростом зарплаты на 1 % доля расходов на продовольствие снижается на 0,58 %.

Теоретические значения зависимой переменной получим, подставив в уравнение значения х и потенцируя значения . В таблице 3. представлены и .

Показателем тесноты связи выступает индекс корреляции:

.

Величина представлена в таблице 3: .

.

В результате имеем:

.

Коэффициент детерминации равен: , т.е. 93,93 % вариации у объясняется вариацией х, на долю прочих факторов приходится 6,07 %.

F – критерий Фишера составит:

.

Эта величина превышает табличное значение на 5 %-м уровне значимости (F_табл=6,61). Следовательно, найденное уравнение регрессии статистически значимо.

Для расчета средней ошибки аппроксимации воспользуемся последней графой таблицы 3.

т.е. среднее отклонение фактических и расчетных значений у составляет 2 %, что свидетельствует о хорошем качестве модели.

Регрессия в виде показательной функции имеет вид: .

Для оценки параметров модели линеаризуем модель путем логарифмирования:

.

Обозначим . Тогда получим: . Для расчетов составим таблицу 4.

 

Таблица 4.

Номер региона	х	Y	xY				y-	(y- )2	(y- )2
	4,5	4,23	19,04	20,25	4,21	67,35	1,45	2,11	121,63	2,111464
	5,9	4,07	23,99	34,81	4,08	59,06	-0,76	0,57	0,28	1,296827
	5,7	4,14	23,58	32,49	4,10	60,17	2,43	5,88	23,32	3,873993
	7,2	3,95	28,46	51,84	3,96	52,27	-0,17	0,03	32,17	0,33356
	6,2	4,00	24,79	38,44	4,05	57,42	-2,92	8,51	10,70	5,351722
		4,04	24,27		4,07	58,50	-1,40	1,97	0,45	2,459651
	7,8	3,93	30,67	60,84	3,90	49,41	1,59	2,52	45,85	3,113949
Сумма	43,3	28,36	174,80	274,67	28,36	404,19		21,60	234,39	18,54
Средняя	6,19	4,05	24,97	39,24

 

Запишем систему нормальных уравнений:

.

В результате:

Получаем уравнение регрессии: . Теперь потенцируем оба параметра, чтобы получить уравнение регрессии в форме показательной кривой:

.

Теоретические значения зависимой переменной получим, подставив в уравнение значения х и потенцируя значения . В таблице 4. представлены и .

Показателем тесноты связи выступает индекс корреляции:

.

Величина представлена в таблице 4: .

.

В результате имеем:

.

Коэффициент детерминации равен: , т.е. 90,24 % вариации у объясняется вариацией х, на долю прочих факторов приходится 9,76 %.

F – критерий Фишера составит:

.

Эта величина превышает табличное значение на 5 %-м уровне значимости (F_табл=6,61). Следовательно, найденное уравнение регрессии статистически значимо.

Для расчета средней ошибки аппроксимации воспользуемся последней графой таблицы 4.

т.е. соответствие фактических и расчетных значений зависимой переменной хорошее и соответственно хорошее качество модели.

 

Регрессия в виде равносторонней гиперболы имеет вид: .

Чтобы оценить параметры уравнения приведем модель к линейному виду, заменив . Тогда . Применяя МНК, получаем систему нормальных уравнений:

Для расчета параметров составим таблицу 5.

 

 

Таблица 5.

 

Номер региона	у		yz
	68,8	0,222	15,289	0,049	69,9	-1,1	1,21	1,60
	58,3	0,170	9,881	0,029	58,5	-0,2	0,04	0,34
	62,6	0,175	10,983	0,031	59,8	2,8	7,84	4,47
	52,1	0,139	7,236	0,019	51,9	0,1	0,01	0,19
	54,5	0,161	8,790	0,026	56,7	-2,2	4,84	4,04
	57,1	0,167	9,517	0,028	57,9	-0,8	0,64	1,40
	51,0	0,128	6,538	0,016	49,6	1,4	1,96	2,75
Сумма	404,4	1,162	68,234	0,198	404,4		16,54	14,79

 

Запишем систему нормальных уравнений:

.

Отсюда , ; ,

Получаем уравнение регрессии: .

Показателем тесноты связи выступает индекс корреляции:

.

Величина представлена в таблице 5: .

.

В результате имеем:

.

Коэффициент детерминации равен: , т.е. 92,94 % вариации у объясняется вариацией х, на долю прочих факторов приходится 7,06 %.

F – критерий Фишера составит:

.

Эта величина превышает табличное значение на 5 %-м уровне значимости (F_табл=6,61). Следовательно, найденное уравнение регрессии статистически значимо.

Для расчета средней ошибки аппроксимации воспользуемся последней графой таблицы 5.

т.е. среднее отклонение фактических и расчетных значений у составляет 2 %, что свидетельствует о хорошем качестве модели.

Выберем наилучшую модель, для чего объединим результаты построения парных регрессий в одну таблицу.

 

Таблица 6. - Сводная таблица построенных уравнений

Уравнение регрессии	Коэффициент детерминации	F – критерий Фишера	Средняя ошибка аппроксимации, %
	0,9393	77,4	1,97
	0,9024	46,24	2,65
	0,9294	65,8	2,11

 

Все уравнения регрессии достаточно хорошо описывают исходные данные. Некоторое предпочтение можно отдать степенной функции, для которой значение коэффициента детерминации наибольшее, а ошибка аппроксимации – наименьшая.