Расширенное свойство предела произведения

Предел произведения нескольких функций равен произведению пределов этих функций:

5) Предел частного

Предел частного двух функций равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю:

Односторонние пределы

Пусть на некотором числовом множестве задана числовая функция и число — предельная точка области определения .

7. Замечательные пределы. Виды неопределённостей и как они раскрываются.

1) =1 ->

2) y=f(x) ->

Выше предоставлены 2 замечательных предела!!!

Виды неопределённостей и как они раскрываются

 

Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Таблица эквивалентностей.

· Y=f(x) def бесконечно малой при x->x0, если lim f(x) = 0!

Пример: lim x-> 1 (x^3-1) = 0 => x^3-1 – б.м.ф при x ->1

· Y=f(x) def бесконечно большой при x->x0, если lim x->x0 f(x) = ∞!!!

Пример: lim x-> 0 1/x = ∞ => 1/x -> б.б.ф

Если a(x) и – б.м.ф, то a(x) – б.м.ф, аналогично с перемножением и умножением на const!

Сравнение б.м.ф и б.б.ф

· a(x), b(x) – б.м.ф, то = const тогда a(x) и b(x) одного порядка малости.

· =0 тогда a(x) – бесконечно малая более высокого порядка.

· Если lim = ∞ тогда b(x) – бесконечно малая более высокого порядка.

· Если lim =1 – тогда a(x) и b(x) эквивалентны.

Таблица эквивалентностей:

 

Непрерывность функций. Точки разрыва.

f(x) def непрерывной в точке x0, если:

Ø она определена функцией

Ø односторонние пределы существуют и равны + равны значения функций в этой точке.

Функция непрерывна на промежутке, если она не прерывна в каждой точке этой f(x)!

Если все условия не выполняются – в этой точке нет непрерывности!

1) lim x-> x0-0 f(x) ≠lim x0=->x0+0 f(x) -> тогда x0 – точка разрыва первого рода.

2) Если хотя бы один из одностороннего предела не существует, тогда x0 – точка разрыва второго рода. + x=x0 – асинтода. F(x) = 1/x

3) Оба предела существуют и равны между собой. Lim x->x-0 f(x) = lim x-> x+0 f(x), тогда x0 – точка устранимого разрыва.

Локальные свойства непрерывных функций.

Л.Ф – наз. такие свойства ф-ий, кот опред. поведение ф-ии в сколько угодно малой окрестности в любой точке определения.

1 Теорема – если y=f(x) непрерывна в точке x0, то она обязательно ограничена в какой т окрестности этой точки.

2 Теорема – если y=f(x) непрерывна в точке x0 и y(x0) ≠0, то некоторой окрестност этой точки x0 все значения ф-ии либо + либо -!!!

3. Теорема – f(x) + g(x) – если эти 2 функции непрерывны в точке x0,значит в этой точке непрерывна их сумма(разность, произведение и т.д)

4 Теорема – если -U=U(x) имеет предел в точке x0 равный A, то ф-ия y=f(U(x)) непрерывна. Lim =

5 Теорема (непрерывность сложной ф-ии) – если U=U(x) непрерывна в точке x0, а y=f(U) непрерывна в точке U0, тогда тогда сложная ф-ия y=f(U(x)) также будет непрерывна в точке x0.