Случайных величин.
Равномерный закон распределения
Определение: Непрерывная случайная величина Х имеет равномерный закон распределения на некотором интервале (а;b), которому принадлежат все возможные значения Х, если плотность распределения вероятностей f(x) постоянная на этом интервале и равна 0 вне его, т.е.
0 при х≤а,
f(х)= 
при a<х<b,
0 при х≥b.
График функции f(x) изображен на рис. 1
(рис. 1) (рис.2)
Функция распределения случайной величины Х, распределенной по равномерному закону, задается формулой:
0 при х≤а,
F(х)= 
при a<х≤b,
0 при х>b.
Ее график изображен на рис. 2.
Числовые характеристики случайной величины равномерно распределенной на интервале (a;b), вычисляются по формулам:
M(Х)= 
, D(X)= 
, σ(Х)= 
.
Задача№1. Случайная величина Х равномерно распределена на отрезке [3;7]. Найти:
а) плотность распределения вероятностей f(x) и построить ее график;
б) функцию распределения F(x) и построить ее график;
в) M(X),D(X), σ(Х).
Решение: Воспользовавшись формулами, рассмотренными выше, при а=3, b=7, находим:
0 при х<3,
а) f(х)= 
при 3≤х≤7,
0 при х>7
Построим ее график (рис.3):
рис.3
б) 0 при х≤3,
F(х)= 
при 3<х≤7,
1 при х>7.
Построим ее график (рис.4):
рис.4
в) M(X) = 
= 
=5,
D(X) = = 
= 
,
σ (Х) = 
= 
= 
.
Показательный (экспоненциальный) закон распределения
Определение: Непрерывная случайная величина Х имеет показательный (экспоненциальный) закон распределения с параметромλ>0, если функция плотности распределения вероятностей имеет вид:
0 при х<0,
f(х)= λе-λх при х≥0.
Функция распределения случайной величины Х, распределенной по показательному закону, задается формулой:
0 при х≤3,
F(х)= 1-e-λх при х≥0.
Кривая распределения f (х) и график функции распределения F(х) случайной величины Х приведены на рис.5 и рис.6.
рис.5 
рис.6
Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение показательного распределения соответственно равны:
M(X)= 
, D(X)= 
, σ (Х)=
Таким образом, математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение показательного распределения равны между собой.
Вероятность попадания Х в интервал (a;b) вычисляется по формуле:
Р(a<Х<b)= e-λа- e-λb
Задача №2. Среднее время безотказной работы прибора равно 100 ч. Полагая, что время безотказной работы прибора имеет показательный закон распределения, найти:
а) плотность распределения вероятностей;
б) функцию распределения;
в) вероятность того, что время безотказной работы прибора превысит 120 ч.
Решение: По условию математическое распределение M(X)= =100, откуда λ=1/100=0,01.
Следовательно,
0 при х<0,
а) f(х)= 0,01е -0,01х при х≥0.
б) F(x)= 0 при х<0,
1- е -0,01х при х≥0.
в) Искомую вероятность найдем, используя функцию распределения:
Р(X>120)=1-F(120)=1-(1- е -1,2)= е -1,2≈0,3.
