Дискретной случайной величины, закон Пуассона

Определение: Биномиальным называется закон распределения дискретной случайной величины Х- числа появлений события А в n независимых повторных испытаниях, в каждом из которых события А может наступить с вероятностью p или не наступить с вероятностью q=1-p. Тогда Р(Х=m)-вероятность появления события А ровно m раз в n испытаниях вычисляется по формуле Бернулли:

Р(Х=m)=С^m_np^mq^n-m

 

Математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, распределенной по бинарному закону, находят, соответственно, по формулам:

 

M(X)=np,

 

D(X)=npq,

 

 

Если число испытаний n очень велико, а вероятность появления события А в каждом испытании очень мала (р≤0,1), то для вычисления Р(Х=m) используют формулу Пуассона:

 

Р(Х=m)=Р_n(m)= e^-λ • λ^m, где λ=np

^m!

Тогда говорят, что случайная величина Х - распределена по закону Пуассона.

Так как вероятность р события А в каждом испытании мала, то закон распределения Пуассона называется законом средних явлений.

 

Задача№3. Составить закон распределения случайной величины Х-числа выпадений пятерки при трех бросаниях игральной кости. Вычислить M(X),D(X), σ(Х) этой величины.

 

Решение: Испытание состоит в одном бросании игральной кости. Так как кость бросается 3 раза, то число испытаний n=3.

Вероятность события А - «выпадение пятерки» в каждом испытании одна и та же и равна 1/6, т.е. Р(А)=р=1/6, тогда Р(А)=1-p=q=5/6, где

- «выпадения не пятерки».

Случайная величина Х может принимать значения: 0;1;2;3.

 

 

Вероятность каждого из возможных значений Х найдем по формуле Бернулли:

Р(Х=0)=Р₃(0)=С⁰₃р⁰q³=1•(1/6)⁰•(5/6)³=125/216;

Р(Х=1)=Р₃(1)=С¹₃р¹q²=3•(1/6)¹•(5/6)²=75/216;

Р(Х=2)=Р₃(2)=С²₃р²q =3•(1/6)²•(5/6)¹=15/216;

Р(Х=3)=Р₃(3)=С³₃р³q⁰=1•(1/6)³•(5/6)⁰=1/216.

 

Т.о. закон распределения случайной величины Х имеет вид:

 

х
р	125/216	75/216	15/216	1/216

 

Контроль: 125/216+75/216+15/216+1/216=1.

 

Найдем числовые характеристики случайной величины Х:

 

M(X)=np=3•(1/6)=1/2,

D(X)=npq=3•(1/6) •(5/6)=5/12,

Задача№4. Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной равна 0,002. Найти вероятность того, что среди 1000 отобранных деталей окажется:

а) 5 бракованных;

б) хотя бы одна бракованная.

 

Решение: Число n=1000 велико, вероятность изготовления бракованной детали р=0,002 мала, и рассматриваемые события (деталь окажется бракованной) независимы, поэтому имеет место формула Пуассона:

Р_n(m)= e^-λ • λ^m

^m!

Найдем λ=np=1000•0,002=2.

 

а)Найдем вероятность того, что будет 5 бракованных деталей (m=5):

Р₁₀₀₀(5)₌ e^-2 • 2⁵ ₌ 32•0,13534 _{= 0,0361}

^{5! 120}

б)Найдем вероятность того, что будет хотя бы одна бракованная деталь.

Событие А -«хотя бы одна из отобранных деталей бракованная» является противоположным событию -«все отобранные детали не бракованные».Следовательно, Р(А)=1-Р( ). Отсюда искомая вероятность равна: Р(А)=1-Р₁₀₀₀(0)=1- e^-2 • 2⁰ _{= 1- e}^-2_{=1-0,13534≈0,865.}

^0!

Задачи для самостоятельной работы.

1.1 Дисперсная случайная величина Х задана законом распределения:

х	-2
р	0,3	0,2	Р3	0,1

Найти р₄, функцию распределения F(X) и построить ее график, а также M(X),D(X), σ(Х).

 

1.2. Дисперсная случайная величина Х задана законом распределения:

х	-1
р	0,3	0,1	0,2	Р4	0,3

Найти р₄, функцию распределения F(X) и построить ее график, а также M(X),D(X), σ(Х).

 

1.3. В коробке 9 фломастеров, из которых 2 фломастера уже не пишут. Наудачу берут 3 фломастера. Случайная величина Х- число пишущих фломастеров среди взятых. Составить закон распределения случайной величины.

 

1.4. На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено 6 учебников, причем 4 из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу 4 учебника. Случайная величина Х-число учебников в переплете среди взятых. Составить закон распределения случайной величины.

 

1.5. В билете две задачи. Вероятность правильного решения первой задачи равна 0,9, второй-0,7. Случайная величина Х- число правильно решенных задач в билете. Составить закон распределения, вычислить математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины, а также найти функцию распределения F(x) и построить ее график.

 

1.6. Три стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,5, для второго-0,8, для третьего -0,7. Случайная величина Х- число попаданий в мишень, если стрелки делают по одному выстрелу. Найти закон распределения, M(X),D(X).

 

1.7. Баскетболист бросает мяч в корзину с вероятностью попадания при каждом броске 0,8. За каждое попадание он получает 10 очков, а в случае промаха очки ему не начисляют. Составить закон распределения случайной величины Х-числа очков, полученных баскетболистом за 3 броска. Найти M(X),D(X), а также вероятность того, что он получит более 10 очков.

 

1.8. На карточках написаны буквы, всего 5 гласных и 3 согласных. Наугад выбирают 3 карточки, причем каждый раз взятую карточку возвращают назад. Случайная величина Х-число гласных букв среди взятых. Составить закон распределения и найти M(X),D(X),σ(Х).

 

1.9. В среднем по 60% договоров страховая компания выплачивает страховые суммы в связи с наступлением страхового случая. Составить закон распределения случайной величины Х- числа договоров, по которым была выплачена страховая сумма среди наудачу отобранных четырех договоров. Найти числовые характеристики этой величины.

1.10. Радиостанция через определенные промежутки времени посылает позывные сигналы (не более четырех) до установления двусторонней связи. Вероятность получения ответа на позывной сигнал равна 0,3. Случайная величина Х-число посланных позывных сигналов. Составить закон распределения и найти F(x).

 

1.11. Имеется 3 ключа, из которых только один подходит к замку. Составить закон распределения случайной величины Х-числа попыток открывания замка, если испробованный ключ в последующих попытках не участвует. Найти M(X),D(X).

 

1.12. Производятся последовательные независимые испытания трех приборов на надежность. Каждый следующий прибор испытывается только в том случае, если предыдущий оказался надежным. Вероятность выдержать испытание для каждого прибора равна 0,9. Составить закон распределения случайной величины Х-числа испытанных приборов.

 

1.13. Дискретная случайная величина Х имеет три возможные значения: х₁=1, х₂,х₃, причем х₁<х₂<х₃. Вероятность того, что Х примет значения х₁ и х₂, соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76. Составить закон распределения случайной величины.

 

1.14. Блок электронного устройства содержит 100 одинаковых элементов. Вероятность отказа каждого элемента в течении времени Т равна 0,002. Элементы работают независимо. Найти вероятность того, что за время Т откажет не более двух элементов.

 

1.15. Учебник издан тиражом 50000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно, равна 0,0002. Найти вероятность того, что тираж содержит:

а) четыре бракованные книги,

б) менее двух бракованных книг.

 

1. 16. Число вызовов, поступающих на АТС каждую минуту, распределено по закону Пуассона с параметром λ=1,5. Найдите вероятность того, что за минуту поступит:

а) два вызова;

б)хотя бы один вызов.

 

1.17. Даны законы распределения двух независимых случайных величин:

 

х	-2
р	0,5	0,2	0,3

х
р	0,2	0,5	0,3

Х: Y:

 

 

Найти M(Z),D(Z), если Z=3X+Y.

1.18. Даны законы распределения двух независимых случайных величин:

 

х
р	0,1	0,4	0,5

х
р	0,2	0,4	0,4

Х: Y:

 

Найти M(Z),D(Z), если Z=X+2Y.

 

 

Ответы:

1.1. р₃=0,4; 0 при х≤-2,

0,3 при -2<х≤0,

F(x)= 0,5 при 0<х≤2,

0,9 при 2<х≤5,

1 при х>5

M(Х)=0,7; D(Х)=4,87; σ(Х) ≈2,193.

1.2. р₄=0,1; 0 при х≤-1,

0,3 при -1<х≤0,

0,4 при 0<х≤1,

F(x)= 0,6 при 1<х≤2,

0,7 при 2<х≤3,

1 при х>3

M(Х)=1; D(Х)=2,6; σ(Х) ≈1,612.

 

1.3.

х
р	7/84	1/2	35/84

1.4.

х
р	2/5	8/15	1/15

1.5.

х
р	0,03	0,34	0,63

 

 

0 при х≤0,

0,03 при 0<х≤1,

F(x)= 0,37 при 1<х≤2,

1 при х>2

 

1.6.

х
р	0,03	0,22	0,47	0,28

 

M(Х)=2; D(Х)=0,62

1.7.

х
р	0,008	0,096	0,384	0,512

 

M(Х)=2,4; D(Х)=0,48, P(X>10)=0,896

1.8.

х
р	27/512	135/512	225/512	125/512

 

M(Х)=15/8; D(Х)=45/64; σ(Х) ≈

 

1.9.

х
р	0,0256	0,1536	0,3456	0,3456	0,1296

 

M(Х)=2,4; D(Х)=0,96

 

1.10.

х
р	0,3	0,21	0,147	0,343

 

0 при х≤ 1,

0,3 при 1<х≤2,

F(x)= 0,51 при 2<х≤3,

0,657 при 3<х≤4,

1 при х>4

1.11.

х
р	1/3	1/3	1/3

 

M(Х)=2; D(Х)=2/3

1.12.

х
р	0,9	0,09	0,01

1.13.

х
р	0,3	0,2	0,5

1.14. 1,22• e^-0,2≈0,999

1.15. а)0,0189; б) 0,00049

1.16. а)0,0702; б)0,77687

1.17. 3,8; 14,2

1.18. 11,2; 4.

 

 

Глава 2. Непрерывная случайная величина

Определение: Непрерывной называют величину, все возможные значения которой полностью заполняют конечный или бесконечный промежуток числовой оси.

 

Очевидно, число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

 

Непрерывную случайную величину можно задавать с помощью функции распределения.

 

Определение: Ф ункцией распределения непрерывной случайной величины Х называется функция F(х), определяющая для каждого значения х R

вероятность того, что случайная величины Х в результате испытания примет значение, меньшее х:

 

F(x)=P(X<x),где х R

 

Функцию распределения иногда называют интегральной функцией распределения.

 

Свойства функции распределения:

1)1≤ F(x) ≤1

2)У непрерывной случайной величины функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, быть может, отдельных точек.

3) Вероятность попадания случайной величины Х в один из промежутков (а;b), [а;b), [а;b], равна разности значений функции F(х) в точках а и b,т.е. Р(а<Х<b)= F(b)- F(a)

4)Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно отдельное значение равна 0.

5) F(-∞)=0, F(+∞)=1

 

Задание непрерывной случайной величины с помощью функции распределения не является единственным. Введем понятие плотности распределения вероятностей (плотность распределения).

Определение: Плотностью распределения вероятностей f(x) непрерывной случайной величины Х называется производная от ее функции распределения, т.е.:

f(x)=F’(x)

Плотность распределения вероятностей иногда называют дифференциальной функцией распределения или дифференциальным законом распределения.

 

Графикплотности распределения вероятностей f(x) называется кривой распределения вероятностей.

Свойства плотности распределения вероятностей:

1)f(x) ≥0,при х R

_х

2) F(x)= ∫ f(x)dx

^-∞

Геометрически функция распределения равна площади фигуры, ограниченной сверху кривой распределения снизу осью ОХ и лежащей левее точки х (рис.1)

_b

3) Р(а<Х<b)= ∫ f(x)dx

^a

Геометрически полученная вероятность равна площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой распределения, снизу осью ОХ, слева и справа прямыми х=а, х=b (рис. 2)

_-∞

4) ∫ f(x) dx=1-условие нормировки

^+∞

рис.1 рис.2

Задача №1. Случайная величина Х задана плотностью распределения вероятностей:

0 при х≤2,

f(x)= с(х-2) при 2<х≤6,

0 при х>6.

 

 

Найти: а) значение с; б) функцию распределения F(х) и построить ее график; в) Р(3≤х<5)

 

Решение:

_{+ ∞}

а) Значение с найдем из условия нормировки: ∫ f(x)dx=1.

Следовательно, ^-∞

_{+∞ 2 6} +∞ 6 ₆

∫ f(x)dx=∫ 0dx+ ∫ c(х-2)dx +∫ 0dx= c∫ (х-2)dx=с(х²/2-2х) =с(36/2-12-(4/2-4))=8с;

^{-∞ -∞ 2 6 2 2}

8с=1;

с=1/8.

_х

б) Известно, что F(x)= ∫ f(x)dx

^-∞

Поэтому, _х

если х≤2, то F(x)= ∫ 0dx=0;

^-∞ _{2 2 х}

если 2<х≤6, то F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(х-2)dx=1/8(х²/2-2х) = 1/8(х²/2-2х- (4/2-4))=

^{-∞ -∞ 2}

=1/8(х²/2-2х+2)=1/16(х-2)²;

_{2 6 х 6 6}

если х>6, то F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(х-2)dx+∫ 0dx=1/8∫(х-2)dx=1/8(х²/2-2х) =

^{-∞ 2 6 2 2}

=1/8(36/2-12-(4/2+4))=1/8•8=1.

Таким образом,

 

 

0 при х≤2,

F(х)= (х-2)²/16 при 2<х≤6,

1 при х>6.

 

График функции F(х) изображен на рис.3

 

рис.3

 

в) Р(3≤Х<5)=F(5)-F(3)=(5-2)²/16-(3-2)²/16=9/16-1/16=5/16.

 

Задача №2. Случайная величина Х задана функцией распределения:

0 при х≤0,

F(х)= (3• arctg х)/π при 0<х≤√3,

1 при х>√3.

 

Найти дифференциальную функцию распределения f(х)

 

Решение: Т.к.f(х)= F’(x), то

0 при х≤0,

f(х)= (3•(1+х²)) /π при 0<х≤√3,

0 при х>√3.

 

Числовые характеристики

Понятие математического ожидания М (Х) и дисперсии D(X) введенные ранее дискретной случайной величины, можно распространить на непрерывные случайные величины.

 

· Математическое ожидание М (Х) непрерывной случайной величины Х определяются равенством:

_+∞

M(X)= ∫ x•f(x)dx,

^-∞

 

при условии, что этот интеграл сходится абсолютно.

 

· Дисперсия D(X) непрерывной случайной величины Х определяется равенством:

_+∞

D(X)= ∫ (х-М(х)²)•f(x)dx, или

^-∞

_+∞

D(X)= ∫ х²•f(x)dx- (М(х))²

^-∞

· Среднее квадратическое отклонение σ(Х) непрерывной случайной величины определяется равенством:

 

Все свойства математического ожидания и дисперсии, рассмотренные ранее для дисперсных случайных величин, справедливы и для непрерывных.

 

Задача №3. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией f(x):

 

0 при х≤0,

f(х)= х/3 при 0<х≤2,

1/3 при 2<х≤3,

0 при х>3.

Найти M(X),D(X),σ(Х), а также P(1<х<5)

 

Решение

_{+∞ 0 2 2 +∞ 2 3}

M(X)= ∫ х•f(x)dx=∫ х•0dx+∫ х•х/3 dx+∫ х/3dx+∫ 0•х•dx=1/3∫х²dx+1/3∫ хdx=

^-∞ _{0 3} ² ₃ ^{0 3 3 0 2}

= x³/9 + х²/6 = 8/9-0+9/6-4/6=31/18,

^{2 2}

_{+∞ 2 3 2 3}

D(X)= ∫ х²• f(x)dx-(М(х))²=∫ х²•х/3•dx+∫1/3х² dx=(31/18)²=х⁴/12 +х³/9 -

^{-∞ 0 2 0 2}

 

- (31/18)²=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)²=31/9- (31/18)²==31/9(1-31/36)=155/324,

 

_{5 2 3 5 2 3}

P(1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х²/6 +1/3х =

^{1 1 2 3 1 2}

= 4/6-1/6+1-2/3=5/6.

 

Задачи для самостоятельного решения.

2.1. Непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения:

 

0 при х≤0,

F(х)= при 0<х≤1,

1 при х>1.

 

Найти дифференциальную функцию распределения f (x), а также

Р(-1/2<Х<1/2).

 

2.2. Непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения:

 

0 при х≤ π/6,

F(х)= -cos 3x при π/6<х≤ π/3,

1 при х> π/3.

 

Найти дифференциальную функцию распределения f (x), а также

Р(2π /9<Х< π /2).

 

2.3. Непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения:

 

0 при х≤2,

f(х)= с•х при 2<х≤4,

0 при х>4.

 

Найти: а) число с; б) М(Х), D(X).

 

2.4. Непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения:

 

0 при х≤0,

f(х)= с•√х при 0<х≤1,

0 при х>1.

 

Найти: а) число с; б) М(Х), D(X).

 

2.5. Задана плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х:

 

f(х)= при х [3;5],

0 при х [3;5].

 

Найти: а) F(х) и построить ее график; б) M(X),D(X), σ(Х); в) вероятность того, что в четырех независимых испытаниях величина Х примет ровно 2 раза значение, принадлежащее интервалу (1;4).

 

2.6. Задана плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х:

 

f(х)= 2(х-2) при х [2;3],

0 при х [2;3].

Найти: а) F(х) и построить ее график; б) M(X),D(X), σ (Х); в) вероятность того, что в трех независимых испытаниях величина Х примет ровно 2 раза значение, принадлежащее отрезку [1;2,5].

 

2.7. Функция f(х) задана в виде:

 

f(х)= при х [-√3/2; √3/2],

0 при х [-√3/2; √3/2].

 

Найти: а) значение постоянной с, при которой функция будет плотностью вероятности некоторой случайной величины Х; б) функцию распределения F(x).

 

2.8. Функция f(x) задана в виде:

f(х)= при х [- π /4; π /4],

0 при х [- π /4; π /4].

 

Найти: а) значение постоянной с, при которой функция будет плотностью вероятности некоторой случайной величины Х; б) функцию распределения F(x).

 

2.9. Случайная величина Х, сосредоточенная на интервале (3;7), задана функцией распределения F(х)= . Найти вероятность того, что

 

случайная величина Х примет значение: а) меньше 5, б) не меньше 7.

 

2.10. Случайная величина Х, сосредоточенная на интервале (-1;4),

задана функцией распределения F(х)=. Найти вероятность того, что

 

случайная величина Х примет значение: а) меньше 2, б) не меньше 4.

 

2.11. Случайная величина задана дифференциальной функцией распределения:

 

f(х)= при х [1; е],

0 при х [1; е].

 

Найти: а) число с; б) М(Х); в) вероятность Р(Х> М(Х)).

 

2.12. Случайная величина задана дифференциальной функцией распределения:

 

f(х)= при х [0; π],

0 при х [0; π].

Найти: а) М(Х); б) вероятность Р(Х≤М(Х))

 

2.13. Распределение Ремя задается плотностью вероятности:

 

0 при х<0,

f(х)= при х ≥0.

 

Доказать, что f(x) действительно является плотностью распределения вероятностей.

 

2.14. Задана плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х:

 

0 при х<0,

f(х)= с•х•е^-х при х ≥0.

 

Найти число с.

 

2.15. Случайная величина Х распределена по закону Симпсона (равнобедренного треугольника) на отрезке [-2; 2] (рис.4). Найти аналитическое выражение для плотности вероятности f(x) на всей числовой оси.

(рис.4) (рис.5)

 

 

2.16. Случайная величина Х распределена по закону «прямоугольного треугольника» в интервале (0;4) (рис.5). Найти аналитическое выражение для плотности вероятности f(x) на всей числовой оси.

 

Ответы

2.1.

0 при х≤0,

f(х)= при 0<х≤1,

0 при х>1.

 

Р(-1/2<Х<1/2)= 2/3.

 

2.2. 0 при х≤ π/6,

F(х)= 3sin 3x при π/6<х≤ π/3,

0 при х> π/3.

 

Р(2π /9<Х< π /2)=1/2.

2.3. а) с=1/6, б) М(Х)=3 в) D(X)=26/81.

 

2.4. а) с=3/2, б) М(Х)=3/5 в) D(X)=12/175.

2.5. 0 при х≤3,

а) F(х)= при 3<х≤5,

1 при х>5.

 

б) M(X)=3, D(X)=2/9, σ (Х)= √2/3;

 

в)3/8.

2.6. 0 при х≤2,

а) F(х)= (х-2)² при 2<х≤3,

1 при х>3.

 

б) M(X)=2, D(X)=3 , σ (Х)= ^≈ 1,893.

 

в)9/64.

2.7. а) с=

0 при х≤√3/2,

б) F(х)=

при -√3/2<х≤√3/2,

1 при х>√3/2.

 

 

2.8. а) с=1/2

0 при х≤- π /4,

б) F(х)= при - π /4 <х≤ π /4,

1 при х> π /4.

 

 

2.9. а)1/4; б) 0.

 

2.10. а)3/5; б) 1.

 

2.11. а)с=2; б)М(Х)=2; в)1-ln²2≈0,5185.

 

2.12. а) М(Х)= π /2; б) 1/2

 

2.14. с=1.

 

2.15. f(х)= при х [-2; 2],

0 при х [-2; 2].

 

2.16. f(х)= при х (0;4),

0 при х (0;4).