МЕХАНИКА И МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
Контрольные задания для студентов всех специальностей
Красноярск
УДК [531+533] (076)
ББК 22.2
Механика и молекулярная физика: Контрольные задания для студентов всех специальностей / КрасГАСА. Красноярск, 2004.
Составили
А. Е. Бурученко
А. А. Колесников
В. А. Захарова
С.С. Лаптев
О.П. Арнольд
Г.Н. Харук
П.П. Машков
Печатается по решению редакционно-издательского совета академии
Ó Красноярская государственная архитектурно-строительная академия, 2004
ВВЕДЕНИЕ
Физика – фундаментальная база для теоретической подготовки инженеров, без овладения которой их успешная деятельность невозможна.
На всех этапах обучения большое значение имеет практическое применение теоретических знаний в процессе решения задач. Это способствует приобщению студентов к самостоятельной творческой работе, учит анализировать изучаемые явления, выделять главные факторы, отвлекаясь от случайных и несущественных деталей.
Задачи, приведенные в методических указаниях, соответствуют программе общего курса физики в техническом вузе и охватывают разделы «Механика», «Колебания и волны», «Молекулярная физика» и «Термодинамика».
В работе отсутствуют сведения, которые при необходимости могут быть найдены в учебных пособиях по курсу общей физики (см. библиографический список). Поэтому вначале помещен краткий перечень формул и законов, необходимых для решения задач.
В приложении приведены основные справочные данные, дополняющие условия задач. Номера вариантов, которые должен выполнить студент, указывает преподаватель.
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ
1.1. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ И ЗАКОНЫ
Кинематика
Положение материальной точки в пространстве задаётся радиус-вектором 
:
,
где 
– единичные векторы направлений (орты); x, y, z – координаты точки.
Кинематические уравнения движения (в координатной форме) таковы:
; 
; 
,
где t – время.
Средняя скорость –
< 
>= 
,
где 
– перемещение материальной точки за интервал времени 
.
Средняя путевая скорость –
< 
>= 
,
где 
- путь, пройденный точкой за интервал времени .
Мгновенная скорость –
,
где 
– проекции скорости на оси координат.
Абсолютное значение скорости –
.
Ускорение –
,
где 
; 
; 
– проекции ускорения 
на оси координат.
Абсолютное значение ускорения –
.
При криволинейном движении ускорение можно представить как сумму нормальной 
и тангенциальной 
составляющих, см. рис 1
Рис. 1.
| Абсолютное значение этих ускорений –
 ;  ;  ,
где R – радиус кривизны в данной точке траектории.
|
Кинематическое уравнение равнопеременного движения материальной точки вдоль оси x:
,
где 
- начальная координата; t – время.
При равномерном движении
; = 0.
Кинематическое уравнение равнопеременного движения (a=const) вдоль оси x:
где 
– начальная скорость; t – время.
Скорость точки при равномерном движении:
.
Кинематическое уравнение вращательного движения:
.
Средняя угловая скорость –
,
где 
- изменение угла поворота за интервал времени .
Мгновенная угловая скорость –
.
Угловое ускорение –
.
Кинематическое уравнение равномерного вращения –
,
где 
- угловое перемещение; t – время. При равномерном вращении
и ε=0.
Частота вращения –
, или 
,
где N – число оборотов, совершаемых телом за время t; Т – период вращения (время одного полного оборота).
Кинематическое уравнение равнопеременного вращения (ε=const):
,
где 
- начальная скорость; t – время.
Угловая скорость тела при равнопеременном вращении:
.
Связь между линейными и угловыми величинами, характеризующими вращение материальной точки, выражается следующими формулами:
(где 
– угол поворота тела) – длина пути, пройденного точкой по дуге окружности радиусом R;
, 
– линейная скорость точки;
, 
– тангенциальное ускорение точки;
– нормальное ускорение точки.
Динамика материальной точки и тела, движущегося поступательно
Уравнение движения материальной точки (второй закон Ньютона)
в векторной форме:
, или 
,
где 
- геометрическая сумма сил, действующих на материальную точку; m – масса; – ускорение; 
– импульс; n – число сил, действующих на точку;
в координатной (скалярной) форме:
; 
; 
,
или
; 
; 
,
где под знаком суммы стоят проекции сил 
на соответствующие оси координат.
Сила упругости –
,
где k – коэффициент упругости (в случае пружины жесткости); x – абсолютная деформация.
Сила гравитационного взаимодействия –
,
где G – гравитационная постоянная; 
и 
- массы взаимодействующих тел, рассматриваемых как материальные точки; r – расстояние между ними.
Сила трения скольжения –
,
где f – коэффициент трения скольжения; N – сила нормального давления.
Значения координат центра масс системы материальных точек –
; 
; 
,
где 
– масса 
- й точки; 
– координаты точки.
Закон сохранения импульса –
, или 
,
где n – число материальных точек или тел, входящих в систему.
Работа, совершаемая постоянной силой, –
, или 
,
где 
– угол между направлениями векторов силы 
и перемещения .
Работа, совершаемая переменной силой, –
,
причем интегрирование ведётся вдоль траектории, обозначаемой L.
Средняя мощность за интервал времени –
.
Мгновенная мощность –
, или 
,
где dA – работа, совершаемая за промежуток времени dt.
Кинетическая энергия материальной точки (или тела, движущегося поступательно) –
, или 
.
Соотношение потенциальной энергии тела и силы, действующей на него в данной точке поля, –
, или 
,
где 
– единичные векторы (орты). В частном случае, когда поле сил обладает сферической симметрией (например, гравитационное), –
.
Потенциальная энергия упругодеформированного тела (сжатой или растянутой пружины) –
.
Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух материальных точек (или тел) массами и , находящихся на некотором расстоянии друг от друга,-
.
Потенциальная энергия тела, находящегося в однородном поле силы тяжести, –
,
где h – высота нахождения тела над уровнем, принятым за нулевой для отсчёта потенциальной энергии. Эта формула справедлива при условии, что h<<R, где R – радиус Земли.
Закон сохранения энергии в механике выполняется в замкнутой системе, в которой действуют только консервативные силы, и записывается в виде
Применив законы сохранения энергии и импульса в случае прямого центрального удара шаров, получаем формулу скорости абсолютно неупругих шаров
и формулы скорости абсолютно упругих шаров после удара:
,
,
где 
и 
– скорости шаров до удара; и – их массы.
Механика твёрдого тела
Основное уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела относительно неподвижной оси –
,
где 
– момент силы, действующей на тело в течение времени dt; J – момент инерции тела; 
– угловая скорость; J – момент импульса.
Если момент силы и момент инерции постоянны, то это уравнение записывается в виде
.
В случае постоянного момента инерции
,
где 
- угловое ускорение.
Момент силы , действующей на тело, относительно оси вращения –
,
где 
– проекция силы на плоскость, перпендикулярную оси вращения; 
– плечо силы (кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы).
Момент инерции материальной точки –
,
где m – масса точки; r – расстояние от оси вращения до точки.
Моменты инерций некоторых тел правильной геометрической формы приведены в табл. 1.
Таблица 1
| Тело | Ось, относительно которой определяется момент инерции | Формула момента инерции |
| Однородный тонкий стержень массой m и длиной
| Проходит через центр тяжести стержня перпендикулярно ему Проходит через конец стержня перпендикулярно ему | 
|
| Тонкое кольцо, обруч, труба радиусом R и массой m, распределённой по ободу | Проходит через центр кольца, обруча, трубы, маховика перпендикулярно плоскости основаня |
|
| Круглый однородный диск (цилиндр) радиусом R и массой m | Проходит через центр диска перпендикулярно его плоскости |
|
| Однородный шар массой m и радиусом R | Проходит через центр шара |
|
Момент инерции твёрдого тела –
,
где ri – расстояние от элемента массы Dmi до оси вращения.
В интегральной форме это выглядит так:
.
Если тело однородно, т. е. его плотность ρ одинаково по всему объёму, то
и 
,
где V – объём тела.
Теорема Штейнера. Момент инерции тела относительно произвольной оси равен
,
где 
– момент инерции этого тела относительно оси, проходящей через центр тяжести тела параллельно заданной оси; m – масса тела; a – расстояние между осями.
Закон сохранения момента импульса –
,
где 
- момент импульса тела под номером i, входящего в состав системы.
Закон сохранения момента импульса для двух взаимодействующих тел –
,
где 
, 
, 
и 
- моменты инерции и угловые скорости тел до взаимодействия; 
, 
, 
и 
- те же величины после него.
Закон сохранения момента импульса для одного тела, момент инерции которого меняется, –
,
где и – начальный и конечный моменты инерции; и – начальная и конечная угловые скорости тела.
Работа постоянного момента силы M, действующего на вращающееся тело, –
,
где φ – угол поворота тела.
Мгновенная мощность, развиваемая при вращении тела –
.
Кинетическая энергия вращающегося тела –
.
Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без скольжения, –
,
где 
– кинетическая энергия поступательного движения тела; 
– кинетическая энергия вращательного движения вокруг оси, проходящей через центр инерции.
Работа, совершаемая при вращении тела, и изменение его кинетической энергии связаны соотношением
.
Величины, характеризующие динамику вращательного движения, и формулы, описывающие это движение, аналогичны соответствующим величинам и формулам поступательного движения (см. табл. 2).
Таблица 2
| Поступательное движение | Вращательное движение | Поступательное движение | Вращательное движение | ||
| Основной закон динамики | Работа и мощность | ||||
| 
| 
|
| ||
| Закон сохранения | Кинетическая энергия | ||||
| импульса | момента импульса | 
| 
| ||
| 
| ||||
Относительное продольное растяжение (сжатие):
,
где 
– изменение длины тела при растяжении (сжатии); l – длина тела до деформации.
Относительное поперечное растяжение (сжатие):
,
где 
– изменение диаметра стержня при растяжении (сжатии); d – диаметр стержня.
Связь между относительным поперечным (растяжением) сжатием 
и относительным продольным растяжением (сжатием) ε –
,
где µ – коэффициент Пуассона.
Закон Гука для продольного растяжения (сжатия):
,
где Е – модуль Юнга.
Напряжение упругой деформации –
,
где F – растягивающая (сжимающая) сила; s – площадь поперечного сечения.
Потенциальная энергия упругорастянутого (сжатого) стержня –
,
где V – объём тела.
Механические колебания
Уравнение гармонических колебаний –
,
где x – смещение колеблющейся точки от положения равновесия; A, ω, φ – соответственно амплитуда, круговая (циклическая) частота, начальная фаза колебаний; t – время; 
– фаза колебаний в момент t.
Круговая частота колебаний –
, или 
,
где n и T – частота и период колебаний.
Скорость точки, совершающей гармонические колебания, –
.
