Любая работа соединяет только 2 события

Событие, из которого выходит работа, является для него начальным или последующим, а куда входит – конечным или последующим.

Работы сетевого графика обозначаются большими буквами и кодируются начальными i и конечными j событиями (А₀₄; А₀₁; А₂₃;…).

События сетевого графика обозначаются малыми буквами и нумеруются в порядке последовательности развития операции.

Путь в сетевом графике – любая последовательность работ, в которой конечное событие каждой работы является началом следующей за ней работы.

Наибольший по продолжительности путь называется критическим и обозначается L кр, а его продолжительность Т кр (на рис. 1) критическим является путь a₁-А₀₁-а₁-А₁₄-а₄=25 ед.времени.

Выделение критического пути является важнейшим элементом в сетевом планировании.

Критический путь позволяет:

1. Определить какие работы и события лимитируют выполнение всего комплекса работ;

2. Позволяет сосредоточить внимание руководителя не на всех работах, а прежде всего на лежащих на критическом пути;

3. Помогает ускорить выполнение работ за счет привлечения резервов, скрытых в некритических работах.

Расчет сетевых графиков

На рис. 2 показана одна дуга сетевого графика со всеми величинами, необходимыми для расчета и получаемыми в результате его.

t^p_i Rⁿ_ij,R⁴_ij t^p_j

tⁿ_i t_ij tⁿ_j

Обозначения:

i – код начального события работы;

j – код конечного события работы;

ij – код работы (дуги);

t_ij – продолжительность работы ij;

t^р_i – ранний срок свершения i-го события, самый ранний срок, в который событие может произойти;

t^p_j – ранний срок свершения j-го события;

tⁿ_i – поздний срок свершения i-го события, - самый поздний допустимый срок свершения, при котором общая продолжительность работ по графику не увеличится;

tⁿ_j – поздний срок свершения j-го события;

t^p^н_ij – раннее начало работы ij;

t^po_ij – раннее окончание работы ij;

tⁿ^н_ij – позднее начало работы ij;

t^no_ij – позднее окончание работы ij;

Rⁿ_ij – полный резерв времени работы, время, на которое можно задержать окончание работы, но так, чтобы при это общая продолжительность работ по графику не увеличилась;

R^ч_ij – частный резерв работы, - время, на которое можно задержать окончание работы так, чтобы ранний срок свершения события j не увеличился.

Алгоритм расчета сетевого графика.

1. Для начального события 1 назначается t^p₁=0.

2. Достигаемая от начального события графика к конечному. Последовательно просматриваются события в порядке возрастания их кодов и вычисляются ранние сроки свершения событий по формуле t^p_j=max(t^p_i+t^p_j). Если в событие j входит несколько дуг, то по каждой их них вычисляется величина t^p_i+t_ij и в качестве t^p_j принимается большая из рассчитанных величин.

3. Для конечного события графика (код его обозначим k) назначается tⁿ_k=t^p_k – поздний срок свершения конечного события равен раннему сроку свершения этого события.

4. Двигаемся от конечного события графика к начальному. Просматриваются события в порядке убывания их кодов и вычисляются поздние сроки свершения событий по формуле: tⁿ_i=min(tⁿ_j-t_ij). Если из события i выходит несколько дуг. То по каждой их них вычисляется величина tⁿ_j-t_ij и в качестве tⁿ_j принимается меньшая. Если расчет произведен без ошибок, то для начального события графика должно оказаться tⁿ₁=0.

5. Формулы для вычислений по работам:

t^pn_ij=t^p_i; t^no_ij=tⁿ_j;

t^po_ij=t^p_i+ t_ij; Rⁿ_ij= tⁿ_j- t^p_i- t_ij;

tⁿ^н_ij₌ tⁿ_j- t_ij; R^ч_ij= t^p_j- t^p_i- t_ij.

Можно ограничится расчетом на графике. Иногда результаты расчета показывают в таблице.

i	j	t_ij	t^pn_ij	t^po_ij	tⁿ^н_ij	t^no_ij	Rⁿ_ij	R^ч_ij

На рис. 3 показан график с рассчитанными сроками свершения событий. Ранние сроки пишутся над событиями, поздние сроки – под событиями. Критический путь показан двойной линией.

В следующей таблице показаны результаты расчета:

Работа	t_ij	Р.Н.	Р.О.	П.Н.	П.О.	Резерв	R^ч_ij
i	J	t^pn_ij	t^po_ij	tⁿ^н_ij	t^no_ij	Rⁿ_ij
(1	2)
(1	3)
(2	4)
(2	5)
(2	6)
(3	4)
(4	7)
(5	6)
(5	7)
(5	8)
(6	9)
(7	9)
(8	9)

После упорядочения сетевого графика для наглядности рекомендуется дополнить его линейной диаграммой.

В ней критическое время комплекса работ равно координате

на оси времени самого правого конца всех отрезков

диаграммы.

Пример задачи.

Дан перечень работ и время выполнения каждой работы.

Составить сетевой график и определить сколько всего времени

понадобится на выполнение всех работ.

Решение.

1. Составляется сетевой график.

2. Составляется таблица и рассчитываются критические работы и определяются резервы времени.

Работа	t_ij	Р.Н.	Р.О.	П.Н.	П.О.	Резерв
(ij)	t^pn_ij	t^po_ij	tⁿ^н_ij	t^no_ij	Rⁿ_ij
(0,1)						0
(1,2)						0
(1,3)
(2,4)						0
(3,5)
(4,5)						0
(4,6)
(5,6)						0
(6,7)						0

Ответ:

-критический путь – 15 ед. времени;

-резерв в работах (1-3), (3-5), (4-6) по 1 ед. времени.

Контрольные вопросы:

1. В чем состоит задача сетевого планирования?

2. Что является исходной информацией для анализа?

3. Дайте определение сетевого графика.

4. Какие основные элементы сетевого графика?

5. Как строится временной сетевой график?

6. Что такое критический путь?

7. Что такое резерв времени в сетевой задаче и как он определяется?

8. Как построить таблицу для расчета сетевого графика?

9. Какой алгоритм сетевого планирования?

10. Какие оптимизационные задачи ставятся в рамках сетевого планирования?

11.Лекция. Нелинейное программирование.

11.1. Основные понятия.

Во многих оптимизационных задачах целевая функция, или функции, задающие ограничения, не являются линейными. Такие задачи называются задачами нелинейного программирования.

Пример простой нелинейной задачи:

Предприятие для производства какого-то продукта расходует два средства в количестве х и y соответственно. Это факторы производства, например, машины и труд, два различных вида сырья и т.п., а х и y – затраты факторов производства.

Факторы производства считаются взаимозаменяемыми. Если это «труд» и «машины», то можно применять такие методы производства, при которых величина затрат в сопоставлении с величиной затрат труда оказывается больше или меньше (производство более или менее трудоемкое).

Объем производства, выраженный в натуральных или стоимостных единицах, является функцией затрат производства

Z = f (х, y). Эта зависимость называется производственной функцией.

Совокупные издержки выражаются формулой с₁х₁ + с₂y₂ = в.

Требуется при данных совокупных издержках определить количество факторов производства, которое максимизирует объем продукции Z.

Математическая модель задачи:

Определить такие переменные х и у, удовлетворяющие условиям

с₁х₁+с₂у=в, х≥0, у≥0,

при которых функция z=f(х, у) достигнет максимума.

Ограничения могут отсутствовать. В этом случае производится безусловная оптимизация задачи. Как правило, функция z может иметь произвольный нелинейный вид. В теории нелинейной оптимизации выделяют понятие локального экстремума (локального минимума, локального максимума), глобального экстремума, условного экстремума.

Понятие условного экстремума вводится для случая, когда число переменных n не меньше 2 (n≥2).

Разница между глобальным и локальным экстремумами предоставлена на рисунке:

А С В

Точки А и В являются точками локального экстремума, а точка С является точкой глобального экстремума.

Задачи нелинейного программирования делятся на два класса: имеющие безусловный экстремум и имеющие условный экстремум в зависимости от того есть ли дополнительные условия или нет.

11.2. Безусловный экстремум

Рассмотрим задачу безусловного экстремума.

Найти экстремум функции z=х²+ху+у²-2х-3у.

Найдем частные производные.

Первая производная по х: z ׳ _х=2х+у-2

Первая производная по у: z ׳ _у=х+2у-3

Решим систему уравнений. 2х+у=2

х+2у=3

Получаем критическую точку (1/3; 4/3).

Найдем вторые частные производные.

Вторая производная по х: z ׳׳ _хх=2

Вторая производная по у: z ׳׳ _уу=2

Смешанные производные z ׳׳ _ху=z ׳׳ _ух=1

Составим определитель 2 1

1 2 = 4-1=3

Следовательно, экстремум есть. Так как z=2>0, то в точке (1/3; 4/3) точка минимума.

Условный экстремум

Задача на минимум.

Определить матрицы L и все ее главные миноры порядка больше чем m+1 должны иметь знак (-1)^m, где m – число ограничений задачи.

Задача на максимум.

Определить матрицы L должен иметь знак (-1)ⁿ, где n – число переменных в задаче. Главный минор порядка m+n-1 должен иметь противоположный знак. Последующие миноры должны иметь чередующие знаки.

Пример: Z = f(x)=xy, х²+у²=2.

Критические точки: М1=(1, 1), М2=(-1, -1), =(1, -1), =(-1, 1).

0 -2x -2y

L= -2x -2λ 1 Δ₃=8 λ(x²+y²)+8xy Δ₂=-4x²

-2y 1 -2 λ

Таким образом, максимум в точках М1, М2 (λ=0,5), минимум – в точках М3, М4 λ=-0,5.

Контрольные вопросы:

1.В чем состоит задача нелинейного программирования?

2.Что называется условным экстремумом?

3.Что называется безусловным экстремумом?

4.Какая разница между локальным и глобальным экстремумом?

5.Какие методы решения задач НЛП?