Рассмотрим порядок определения оптимального размера текущего запаса товара одной номенклатуры. Природа текущего запаса отражена в его названии "текущий". Действительно, обеспечивая бесперебойное функционирование производственного или торгового предприятия в периоды между очередными поставками, эта категория запаса как бы вытекает со склада, изменяя свое значение при каждом расходе[74]. Говоря о размере текущего запаса, как правило, имеют в виду его максимальную, среднюю или минимальную величину. В случае если новая партия расходуемой продукции прибывает точно в момент окончания предыдущей, минимальная величина текущего запаса будет равна нулю, а средняя величина — половине максимальной. Очевидно, что при таком режиме поставок максимальный текущий запас будет равен размеру поставленной партии товара. На рис. 89 показано, как в течение четырех кварталов (ось ОХ) по мере расхода и поставки размер текущего запаса (ось OY) меняется от 1800 до 0 единиц.
Запас текущий максимальный - 1800 ед.
Запас текущий минимальный - 0 ед.
Запас текущий средний - 900 ед.
Рис. 89. Изменение размера текущего запаса
Оптимальным размером текущего запаса будем считать оптимальное значение его средней величины (Зтек.ср) > равное половине заказанной и доставленной партии товара. Таким образом, задача поиска оптимального размера запаса преобразуется в задачу поиска оптимального размера заказываемой партии товара.
Критерием оптимума является минимум общих затрат за период, связанных с созданием и содержанием запаса.
В системах управления запасами используются две категории затрат: затраты удельные и затраты за анализируемый период.
Затраты удельные представляют собой:
• затраты удельные на создание запасов, т. е. затраты на размещение и получение одного заказа; измеряются в рублях и обозначаются символом К;
• затраты удельные на хранение запасов, т. е. затраты на хранение единицы запаса в единицу времени; обозначаются символом М и имеют размерность руб./руб. × год или 1/ год если запас измеряется в денежных единицах.
В системах управления запасами в качестве единицы измерения времени при определении удельных затрат на хранение чаще всего принимают год. Таким образом, величина М показывает, какую часть от стоимости единицы продукции составляет стоимость ее хранения в течение года. Например, если закупочная стоимость изделия составляет 600 руб., а М = 0,3 1/год, то это означает, что хранение одного изделия в течение года обходится предприятию в 180 руб.
Затраты за период представляют собой:
• затраты на размещение и получение всех заказов, сделанных за период (Сзак);
• затраты на хранение среднего запаса в течение периода (Cxpан).
Общие затраты за период обозначим символом Собщ.
Затраты за период имеют размерность руб./период, например руб./год.
Помимо затрат удельных и затрат за период система управления запасами характеризуются также следующими параметрами:
Q — спрос на товар за период, шт./период
Р — закупочная стоимость единицы товара, руб./шт.
Т — продолжительность анализируемого периода, год/период
S — размер заказываемой партии товара, шт.
Зтек.ср — запас текущий средний, шт.
N — количество заказов за период (частота завоза), заказ/период
t — промежуток между поставками, год/заказ
Целевую функцию можно представить в следующем виде:
Собщ =F{Cxpaн, Cзaк, M, K, Q, P, T, S, Зmeк.cp, N, t} →min.
Неуправляемыми параметрами в целевой функции очевидно являются удельные затраты на создание запаса (K) и удельные затраты на хранение запаса (М), а также спрос на товар за анализируемый период (Q), закупочная стоимость единицы товара (Р) и продолжительность анализируемого периода (Т). Остальные параметры, тесно связанные между собой, в рамках рассматриваемой задачи являются управляемыми, т. е. менеджер может менять их по своему усмотрению, получая те или иные экономические результаты.
Следует иметь в виду, что задача оптимизации может быть решена в случае, если выполняются следующие условия:
• новая партия товара доставляется в момент полного расхода текущего запаса;
• потребность в материалах за период (спрос на товар) является величиной известной и постоянной (Q = const);
• удельные затраты на создание запасов известны и постоянны (K = const), т. е. затраты на размещение и получение одного заказа не зависят от размера заказа[75];
• удельные расходы по хранению запаса известны и постоянны (М = const);
• закупочная стоимость товара постоянна и не зависит от размера закупаемой партии (Р = const).
Критерием оптимума, как уже отмечалось, является минимум суммы общих затрат за период. В связи с этим представим целевую функцию (Собщ) в виде суммы затрат за период на создание и хранение запасов и найдем такое значение размера заказа (Sопт), при котором общие затратыбудут минимальны.
Собщ = Схран + Сзак → min.
Для решения задачи найдем зависимости Сзак и Схран от S.
Зависимость затрат за период на создание запасов от размера заказа.
Количество заказов за период (N) связано со спросом натовар за соответствующий период (Q) и размером заказа (5) следующим соотношением:
N = 
Затраты за период, связанные с размещением и получением заказов, рассчитывают по формуле
Сзак = N × K
или
Сзак = × K
Изменение размера заказа (S) влечет за собой изменение количества заказов и соответствующее изменение затрат за период, связанных с размещением и получением заказов (Сзак). График зависимости Сзак от S, имеющей форму гиперболы, представлен на рис. 90.
Изменение размера заказа вызывает также изменение средней величины текущего запаса (Зтек.ср) и соответствующее изменение затрат за период на его хранение (Схран). Например, если в нашем примере заказывать не по 1800 ед. (рис. 89), а по 7200 ед., число заказов за год уменьшится с четырех до одного, а средний запас возрастет с 900 до 3600 ед. Соответственно в 4 раза возрастут и годовые затраты на хранение.
Расчет затрат за период на хранение запаса выполняют по формуле
Схран = М × Т × Зтек.ср × Р.
Рис. 90. Зависимость затрат за период, связанных с размещением и получением заказов, от размера заказа
Подстановка размерностей, входящих в формулу величин, которую читателю предлагается выполнить самостоятельно, позволит нагляднее представить зависимость и удостовериться в верности формулы.
Поскольку средняя величина текущего запаса равна половине заказа, т.е.
Зтек.ср = 
,
то можно записать, что
Схран = М × Т × × Р. (1)
График зависимости Схран от S, имеющей, как правило, линейную форму, представлен на рис. 91.
Рис. 91. Зависимость затрат за период, связанных с хранением запасов, от размера заказа
Как видим, изменение размера заказа влечет за собой изменение затрат за период как на создание запаса, так и на его хранение. Однако характер зависимости каждой из этих статей расходов от размера заказа разный. Суммарные затраты за период на создание запаса при увеличении размера заказа, очевидно, уменьшаются, так как закупки осуществляются более крупными партиями, и, следовательно, реже. Расходы по хранению за период растут прямо пропорционально размеру заказа.
Графически зависимость общих затрат за период, связанных с размещением и получением заказов, а также с хранением запаса, от размера заказа представлена на рис. 92.
Рис. 92. Зависимость общих затрат за период, связанных с размещением и получением заказов, а также с хранением запаса, от размера заказа
Определим размер заказа (S), при котором минимизируются общие затраты:
Собщ = Схран + Сзак → min
или
Собщ = М × Т × × Р +K × → min. (2)
Как видим, в данном уравнении два управляемых параметра: S — независимая переменная и Собщ — зависимая переменная. Остальные параметры являются постоянными коэффициентами. В упрощенной форме уравнение (2) примет вид:
Собщ = a · S + 
,
где
;
b = Q · K.
Функция суммарных затрат имеет минимум в точке, в которой ее первая производная по S равна нулю, а вторая производная больше нуля. Найдем первую производную для Собщ.
= 
;
= 
.
Найдем значение S, обращающее производную целевой функции в ноль:
= 0,
откуда
Sопт = 
. (3)
Проверка показывает, что вторая производная больше нуля, следовательно, полученное значение S обеспечивает минимум суммарных затрат на создание запаса и его хранение.
Подставляя в выражение (3) значения а и b, получим формулу, позволяющую рассчитать оптимальный размер заказа, которая в теории управления запасами известна как формула Уилсона:
Sопт = 
. (4)
Рассмотрим порядок расчета оптимальных значений остальных управляемых параметров.
Оптимальный размер затрат за период Т на создание запаса, Сопт.зак:
Сопт.зак = K · 
;
Сопт.зак = 
;
Сопт.зак = 
(5)
Оптимальный размер затрат за период Т на хранение запаса, Сопт.хран:
Сопт.хран = 
;
Сопт.хран = 
;
Сопт.хран = (6)
Минимальный (он же оптимальный) размер общих затрат за период на создание и хранение запаса Смин.общ:
Смин.общ = Сопт.зак + Сопт.хран = 
Из формул (5) и (6) следует, что в точке минимума общих затрат затраты на создание запаса за период равны затратам на хранение запаса (за этот же период). Отсюда следует вывод, имеющий существенное практическое значение: если в течение периода затраты, связанные с созданием запаса были равны затратам на их хранение, то, значит, товары закупались оптимальными, т. е. правильными по размеру партиями.
Оптимальный размер среднего значения текущего запаса
Зопт.тек.ср = 
.
Оптимальное количество заказов за период (частота завоза)
Nопт = .
Оптимальный период между поставками:
tопт = 
.
Полученное значение периода между поставками имеет годовое измерение:
,
т.е. промежуток между заказами измеряется в годах. На практике период между поставками удобнее измерять в месяцах или днях. Расчетная формула при этом имеет вид:
tопт = 
,
или
tопт = 
.
Присвоим неуправляемым параметрам конкретные числовые величины (табл. 21), чтобы иметь возможность на примере показать порядок определения оптимального размера управляемых параметров.
Таблица 21
