Анализ качества системы в переходном режиме

1) Определение запасов устойчивости системы:

Запасы устойчивости будем проверять по ЛЧХ системы, выполненной ниже. Правило определения запасов устойчивости: запас по фазе Δφ отсчитывается по ЛФХ на частоте среза w_с, а запас по амплитуде L_h соответствует значению ЛАХ на критической частоте w_кр, взятому с обратным знаком.

 

 

Расчет выполним в MathCad (рисунок 10):

Рисунок 10 – Построение ЛХЧ скорректированной системы

Проведем расчет значений:

Получим значения: запас по амплитуде L_h = 16.8 дБ; запас по фазе Δφ= =35.68̊.

2) Оценка показателя колебательности:

Показатель колебательности М, представляет собой резонансное значение амплитудно-частотной характеристики замкнутой системы в относительных единицах, т.е. отношение максимальной амплитуды АЧХ к начальной ординате.

Показатель колебательности характеризует склонность систем или объектов к колебательности. Чем выше показатель колебательности, тем более колебательна система, то есть менее качественна.

Для определения этого показателя необходимо построить график АЧХ (график зависимости модуля частотной передаточной функции от частоты) и по снятым с графика значениям, определить значение показателя колебательности.

Расчет этого показателя приведен в приложении G.

По результатам проведенных расчетов, были получены численные значения параметров:

М=1.164.

Считается, что значение показателя колебательности, обеспечивающего малую колебательность системы, лежит в пределах:

1.1<М<1.3.

Полученный нами показатель укладывается в этот диапазон, следовательно, система обладает хорошими показателями по качеству.

3) Оценка прямых показателей качества по ВЧХ «вход-выход ДОС»

 

По ВЧХ замкнутой системы, можно определить диапазон значений прямых показателей качества системы.

Расчет этих показателей приведен в приложении H.

По результатам расчетов видно, что перерегулирование менее 20.403%. Так как ранее мы получили значение перерегулирования 17.8%, то расчет проведен

верно(полученное значение входит в диапазон).

Для оценки времени регулирования воспользуемся неравенством:

где ω_п – частота положительности.

Определив ω_п в приложении Е, оценим диапазон времени регулирования:

.

Так как ранее мы получили значение времени регулирования 0.18 с, то расчет проведен верно (полученное значение входит в диапазон).

4) Оценка прямых показателей качества по нулям и полюсам передаточной функции замкнутой системы (корневые оценки показателей)

Оценку прямых показателей качества системы можно произвести на базе корневых показателей. Корневые показатели качества САР основаны на значениях нулей и полюсов ПФ, их расположении на комплексной плоскости. Основными корневыми показателями качества являются:

1) Степень устойчивости η – абсолютное значение действительной части ближайшего к мнимой оси полюса ПФ рассматриваемой системы. Степень устойчивости применяется для оценки быстродействия системы, т.е. времени регулирования.

2) Коэффициент колебательности μ – максимальное отношение мнимой части комплексного корня характеристического уравнения системы к действительной части. Коэффициент колебательности является оценкой запаса устойчивости системы и характеризует склонность системы к колебательным переходным процессам. Эти же свойства оценивает прямой показатель качества – перерегулирование.

Определим нули и полюса нашей функции.

Знаменатель передаточной функции соответствует характеристическому уравнению системы. Его корни – полюса передаточной функции. Нули передаточной функции - корни многочлена числителя.

Получим характеристическое уравнение замкнутой системы и найдем его корни:

Рисунок 11 – Нахождение полюсов ПФ

Уравнение для нулей ПФ замкнутой системы:

12.672s+105.6=0.

Определим степень устойчивости и коэффициент колебательности:

По величине оценим время регулирования, так как ближайшему к мнимой оси полюсу соответствует составляющая регулируемой величины, затухающей наиболее медленно:

Примем ,и проведем расчет:

 

По величине оценим перерегулирование:

Истинные значения перерегулирования и времени регулирования удовлетворяют полученным диапазонам.

Полученные оценки по корневому методу и по ВЧХ системы дают очень широкий диапазон значений прямых показателей и точные значения никогда не будут известны.