Частотный метод расчета параметров регулятора

 

Используя соотношения (12) и (14) можно оценить величину линейного и квадратичного ИКК и отыскать настройки регулятора, которые минимизируют их. Проблемой является то, что поиск абсолютного минимума I ₁ путем повышения коэффициента передачи И-звена вызывает колебательность переходного процесса и невозможность, соответственно, применять понятие линейного ИКК в этом процессе. Одновременно при настройке на абсолютный минимум квадратичного ИКК I ₂ также появится чрезмерная колебательность переходного процесса, что приведет к понижению запаса устойчивости системы. Поэтому при настройке регуляторов на минимум I ₁ или I ₂предлагается отыскивать положения не абсолютного, а условного экстремума функционалов (11) или (13) заранее задав ограничение на колебательность переходного процесса.

Это обеспечивает наличие у синтезированной системы

В процессе работы эффект нестационарности характеристик объекта или настроек регулятора может вызывать изменения в работе системы автоматического управления. К негативным последствиям может приводить также изменение режима работы объекта в случае существенной нелинейности характеристик его. Система, обладающая малой чувствительностью к изменениям параметров входящих в нее звеньев, называется робастной. Для того, чтобы система являлась робастной, т.е. обладала определенным запасом устойчивости и, тем самым, оставалась работоспособной при изменении условий функционирования следует ограничить возможный диапазон изменения параметров регулятора. Этого, в свою очередь, можно добиться вводя ограничения на:

- область расположения корней характеристического уравнения замкнутой системы в плоскости корней, т.е. на величину корневой степени колебательности m;

- расположение годографа комплексной частотной характеристики (КЧХ) разомкнутой САР в плоскости КЧХ, которое зависит от величины частотного показателя колебательности М.

В одноконтурных системах регулирования чаще всего оправдывается гипотеза наличия доминирующей пары корней, вносящей наибольший вклад в формирование переходного процесса. В этом случае оба ограничения эквивалентны, т.е. каждому значению m отвечает определенная величина частотного показателя колебательности М или декремента затухания ψ, характеризующего интенсивность затухания колебаний в переходном процессе и определяющегося отношением амплитуд двух «соседних» пиков.

Взаимосвязь декремента затухания и корневого показателя колебательности задается формулой (в предположении, что основной вклад в колебательность процесса вносит доминирующая пара корней)

 

(15)

 

Взаимосвязь корневого и частотного показателей колебательности определяется формулой (в предположении, что замкнутая система по своим характеристикам подобна колебательному звену второго порядка)

 

(16)

 

Заметим, что вследствие своего приближенного характера расчет по формулам (15)и (16) может не совпадать с реальными параметрами, которые вычисляются по временным и частотным характеристикам замкнутой системы.

Часто при расчетах настроек стремятся реализовать один из трех вариантов, представленных в табл. 1.

 

Таблица 1. – Соотношения различных характеристик колебательности

 

№	m	M	ψ, %
	0,366	1,55
	0,302	1,81
	0,221	2,38

 

Наиболее удобным представляется принимать в качестве ограничений заданное значение корневой степени колебательности m, т.е. исходить из заданного расположения корней характеристического уравнения. Рис. 6 иллюстрирует геометрический смысл корневого показателя колебательности – он определяется отношением вещественной и мнимой частей доминирующей пары корней. Это означает, что на ограничивающих лучах, проведенных под углом δ к мнимой оси, находятся доминирующая пара корней, а остальные корни попадают внутрь заштрихованной области.

Для того, чтобы величина корневой степени колебательности замкнутой системы регулирования принимала заданное значение необходимо и достаточно чтобы выполнялся расширенный критерий Найквиста, т.е. расширенная КЧХ (РКЧХ) разомкнутой системы должна проходить через критическую точку плоскости (–1, j 0). Это показано на рис. 7 – годограф Найквиста не охватывает этой точки, что означает устойчивость системы, а расширенный годограф Найквиста проходит через эту точку.

При наличии в системе транспортного запаздывания годограф РКЧХ за счет наличия множителя будет иметь более сложную форму и условию указанного расположения пары комплексно-сопряженных корней отвечает «первое» прохождение годографа через точку (–1, j 0) – на частоте ω_π когда фаза разомкнутой системы равна –π. Математически это выражается следующим условием

 

.

(17)

 

Рис. 6. К пояснению понятия корневого показателя колебательности

Рис. 7. К пояснению понятия расширенного критерия Найквиста.

 

Представим РКЧХ объекта регулирования и регулятора в виде

 

(18)

При этом выражения для вещественной и мнимой расширенных частотных характеристик регулятора в (18) зависят от выбранного алгоритма регулирования, т.е. определяются видом формулы (9). Подстановка (18) в (17) приведет к преобразованию этого соотношения в систему двух линейных уравнений

 

(19)

 

В определенном частотном диапазоне каждому значению частоты отвечает пара значений настроечных параметров, которые являются решениями системы уравнений (19). Для этих значений настроечных параметров доминирующая пара корней характеристического уравнения расположена на ограничивающих лучах (но в различных их точках!) и, следовательно, заданная величина степени колебательности m обеспечена. Из этого набора решений и следует выбирать те, которые минимизируют выражения (12) или (14) для интегральных критериев качества.

В случае ПИ-алгоритма работы регулятора решение системы (18) имеет вид

 

(20)

 

Выражения (20) определяют в параметрической форме уравнение линии зависимости , которая соответствует условию m= const. Эту линию имеет смысл проводить только в области положительных значений k_r, k_i, границам которых соответствуют значения частот для которых происходит вырождение ПИ-алгоритма в И-алгоритм (на частоте ω₀ k_r =0 и k_i ≠0) или в П- алгоритм (на частоте ω_π k_r ≠0 и k_i =0). Граничные значения частоты можно определить по расширенной фазочастотной характеристике φ (m, ω ) объекта регулирования, однако удобнее выбрать границы диапазона произвольно (например, начало диапазона – на нулевой частоте, а окончание на частоте большей, чем ω_π), если предусмотреть условие положительности параметров регулятора в форме:

 

(21)

 

Пример линии, построенной по уравнению (21), приведен на рис. 8.

Настройке регулятора на минимум линейного ИКК отвечает максимально возможное значение k_i, т.е. точка на вершине графика представленного на рис. 8. Координаты этой точки, определяющие оптимальные настройки регулятора, можно найти трассировкой графика или же аналитически, учитывая, что в точке экстремума графика производная равна нулю.

Минимуму квадратичного интегрального критерия I ₂ (совместно с ограничением по значению m) соответствует точка на линии m =const справа от вершины графика на участке со значениями k_i =(0,8÷0,9)× k_{i max}. С этой целью следует построить зависимость I ₂ от параметра ν, определяющего изменение настроечных коэффициентов регулятора вдоль линии заданного запаса колебательности m. В соответствии с уравнением (14) можно записать

 

.

(22)

 

Рис. 8. Линия m= const в плоскости настроечных параметров ПИ- регулятора

Рис. 9. График изменения квадратичного ИКК I 2 при перемещении вдоль линии m= const.

В формуле (22) частотные зависимости настроечных параметров регулятора выбираются в соответствии с уравнениями (21). График частотной зависимости квадратичного ИКК представлен на рис. 9.

Оптимальной настройке на условный минимум квадратичного ИКК соответствует точка минимума графика I₂ (ν). Найдя частоту минимума, можно по формулам (21) вычислить значения настроечных параметров регулятора.

Особенностью настройки регулятора с ПИД-алгоритмом регулирования является то, что определению подлежат не два, а три настроечных параметра. Вместе с тем использование расширенного критерия Найквиста предполагает расчет настроек как результат решения системы двух линейных уравнений, т.е. может быть использовано для расчета двух настроечных параметров. Определение же ограничений в трехмерном пространстве в аналитической форме (т.е. расчет всех трех настроек ПИД-регулятора в предположении фиксированной колебательности) на основе соотношений (20) невозможно. Представляется допустимым снизить размерность пространства параметров, введя условие неизменности отношения постоянной дифференцирования T_d к постоянной интегрирования Т_i: . Увеличение этого отношения позволяет произвести настройку с наилучшим качеством, однако робастность системы при этом ухудшается. Выбор настроек в САР с ПИД-алгоритмом не формализован в столь высокой степени, как выбор настроек ПИ-алгоритма, поэтому компромисс между качеством и робастностью может быть достигнут в различных вариантах.

Тем не менее, существует, полученная на основе практического опыта рекомендация – производить расчет настроек ПИД-регулятора при ограничении значения α в пределах 0,2 ¸ 0,3. С учетом этого и в соответствии с (10) РКЧХ ПИД-регулятора будет определяться соотношением

 

.

 

Тогда условие (19) прохождения годографа РКЧХ через точку (–1, j 0) приводит к системе двух квадратных по параметру T_i уравнений. Решения этих уравнений представляют соотношения, определяющие множество значений постоянной интегрирования Т_i и коэффициента передачи k_r при заданном значении a=const, соответствующее линии заданного запаса устойчивости в плоскости параметров настройки k_r, k_i. Приведем эти формулы, записав предварительно вспомогательные соотношения:

 

 

 

Уравнение линии постоянного значения степени колебательности в параметрической форме имеет вид

 

.

(23)

Величина времени дифференцирования вычисляется как Т_d=α×Т_i(m,α,ω).

При расчете линии m =const следует, как и ранее для ПИ-регулятора, предусмотреть положительность настроечных параметров. Для этого следует выбрать соответствующий диапазон частот (ω₁, ω₂) с помощью фазочастотной характеристики объекта или ввести ограничения типа соотношений (21). При настройке на условный минимум I ₁ следует искать положение экстремума на линии равного значения степени колебательности (см. рис. 8), а при настройке на условный минимум I ₂ использовать соотношение аналогичное формуле (22)

 

(24)

 

В остальном процедуры поиска оптимальных настроечных параметров при настройках на условный минимум I ₁и I ₂ для ПИД-регулятора идентичны рассмотренному выше случаю расчета настроек ПИ-регулятора.