Заполнение начинается с клеток, имеющих минимальный тариф.
Пример 4. распределить поставки с учетом наименьших затрат по условию примера 3.
1. Составим таблицу.
Распределим поставки с учетом наименьших затрат.
Выберем клетки с наименьшими тарифами. Такими клетками являются – одна клетка (3; 3), с тарифом 1. Заполним ее поставкой: 
. Так как спрос третьего потребителя удовлетворен, то клетки (1; 3) и (2; 3) мысленно вычеркиваем. У третьего поставщика осталось 10 единиц груза. Далее выбираем клетки с тарифами 2. Таковыми являются клетки (1; 2) и (3; 1). Поставки: в клетку (1; 2): 
; в клетку (3; 1): 
. Спрос второго потребителя выполнен, значит, мысленно вычеркиваем клетки (2; 2) и (2; 3). Мощности первого и третьего поставщиков изъяты полностью, значит, мысленно вычеркиваем клетки (1; 1), (1; 4) и (3; 4). Далее выбираем клетку (2; 1) с оставшимся наименьшим тарифом в 4 - 
. Спрос первого потребителя удовлетворен, у второго поставщика осталось еще 40 единиц груза. Невычеркнутой осталась клетка (2; 4) с тарифом 7. В нее заполним поставку четвертому потребителю от второго поставщика - 
.
| Потребители Поставщики | В1 | В2 | В3 | В4 |
| А1 – 70 | - | - | - | |
| А2 – 80 | - | |||
| А3 – 50 | - | - |
Сделаем проверку условий.
1. Баланс сохранен.
2. Число заполненных клеток: 5 – условие не выполнено. В этом случае в произвольную клетку, например, (2;2) дадим поставку равную 0. Тогда число заполненных клеток поставками будет равно 6, то есть столько, сколько должно быть.
Ответ: опорный план
Нахождение оптимального плана распределения поставок
Методом потенциалов
Метод потенциалов служит для определения оптимальности полученного распределения поставок. Потенциалы – это числа Vi и Uj.
Потенциалы вводят для поставщиков: Vi и для потребителей: Uj. Всего потенциалов будет m+n.
Для вычисления значений потенциалов используется понятие оценка клетки.
Оценка клетки это сумма потенциала поставщика, потенциала потребителя и тарифа. 
Потенциалы находятся из условия: оценка заполненной клетки равна нулю.
Для нахождения значений потенциалов дополняют таблицу 1 горизонтальной строкой снизу для Uj и вертикальным столбцом справа - для Vi. Так как количество потенциалов 
, а число заполненных клеток 
, то одно значение Uj или Vi берут равным нулю. Выбирают то, против которого наибольшее число заполненных клеток.
Продемонстрируем решение по условию примера 3.
Построим таблицу.
| Bj Ai | В1 | В2 | В3 | В4 | Vi |
| А1 – 70 | (-1) | (-2) | |||
| А2 – 80 | (-2) | (-2) | -1 | ||
| А3 – 50 | (0) | (5) | |||
| Uj | -5 | -2 | -4 | -8 |
Положим значение V1 равными нулю, т.е. 
. Тогда согласно выше указанному условию, найдем оценку заполненной клетки (1; 1):
отсюда U1 = -5,
оценка заполненной клетки (1; 2) равна:
отсюда U2 = -2.
Аналогично находят значения остальных потенциалов:
По найденным потенциалам находят оценки свободных клеток по формуле:
.
Эти оценки могут иметь значения меньше нуля, равны нулю или больше нуля. Оценки свободных клеток записаны в таблицу в скобках.
Проверяем критерий оптимальности: опорный план оптимальный, если оценки всех свободных клеток неотрицательны.
Опорный план, построенный по методу «Северо-западного угла» не является оптимальным, так как есть оценки клеток меньше нуля. Для получения оптимального плана следует выполнить перераспределение поставок. Для этого строят цикл для клетки с наименьшей отрицательной оценкой.
Циклом называется замкнутый многоугольник, стороны которого вертикальные или горизонтальные отрезки; одна вершина, для которой строится цикл, свободна, а все остальные вершины – заполнены поставками.
Вершине, для которой строится цикл, присваивается номер 1, а остальные нумеруются порядковыми числами 2, 3 и так далее по часовой или против часовой стрелки. По построенному циклу перемещаем минимальный груз из четных клеток в нечетные.
Полученное распределение поставок заносим во вновь построенную таблицу. И так до тех пор, пока не получим оптимальное распределение поставок, то есть пока оценки всех клеток получатся неотрицательными.
Матричные игры. Основные понятия
Теория игр – это математическая теория конфликтных ситуаций.
Математическая модель конфликтной ситуации называется игрой, стороны конфликта – игроками, исход конфликта – выигрышем.
Стратегией игрока называется совокупность правил, определяющих выбор его действия при каждом личном ходе в зависимости от сложившейся ситуации.
Чтобы найти решение игры, каждый игрок должен выбрать стратегию, удовлетворяющую условию оптимальности. Стратегии считаются оптимальными, если один из игроков получает максимальный выигрыш, а другой минимальный проигрыш.
Игра называется игрой с нулевой суммой, если выигрыш одного игрока равен проигрышу другого.
Целью теории игр является определение оптимальной стратегии для каждого игрока.
В ходе игры каждый игрок выбирает ту или иную стратегию.
Каждая фиксированная стратегия, которую может выбрать игрок, называется его чистой стратегией.
Простейший вид стратегической игры есть игра двух лиц А и В (парная игра) с нулевой суммой.
Игра состоит из двух ходов: игрок А выбирает одну из своих возможных стратегий 
; игрок В выбирает одну из своих возможных стратегий 
. При этом игрок А получает выигрыш, который обозначим через 
, а игрок В получает выигрыш, который обозначим через 
.
Так как сумма выигрышей должна быть равна 0, то 
.
Тогда, если обозначить 
, то 
.
Парная игра с нулевой суммой формально задается платежной матрицей
,
элементы aij которой определяют выигрыш первого игрока (лица А) и соответственно проигрыш второго (лица В), если первый игрок выбирает i – ю строку (Аi стратегию), а второй игрок выбирает j – й столбец (Вj стратегию).
В каждой i – й строке игроку А гарантирован минимальный выигрыш, то есть 
. Игрок А стремится максимизировать свой минимальный выигрыш, то есть получить
(2)
Величина - гарантированный выигрыш игрока А называется нижней ценой игры или максимином, а соответствующая стратегия 
, обеспечивающая получение 
, называется максиминной.
Игроку В в каждом j – м столбце гарантирован максимальный проигрыш, то есть 
. Он стремится минимизировать свой проигрыш, то есть получить
(3)
Величина 
гарантированный проигрыш игрока В называется верхней ценой игры или минимаксом, а соответствующая выигрышу 
стратегия 
- минимаксной.
Отметим что всегда 
.
Если 
, то имеем в матрице М элемент 
который является максимальным в j – м столбце и минимальным в i – й строке. Этот элемент называется седловой точко й.
Его индексы: 
- указывает оптимальную стратегию игрока А, 
- указывает оптимальную стратегию игрока В.
Значит, в этом случае матричная игра решается в чистых стратегиях: игрок А получает оптимальную стратегию , игрок В получает оптимальную стратегию , цена игры 
.
Если 
, то матричная игра решается в смешанных стратегиях. Это значит, что игрок А выбирает 
стратегию с вероятностью 
. Смешанные стратегии игрока А записываются в виде вектора 
, причем 
, сумма вероятностей появления стратегий равна 1, или в виде матрицы
.
Игрок В выбирает 
стратегию с вероятностью 
. Аналогично смешанные стратегии игрока В записываются в виде вектора 
, причем 
, или в виде матрицы
.
