Понятие матрицы. Действия над матрицами
Специалистам, работающим в области экономики, при решении прикладных задач часто приходится оперировать множеством числовых данных, оформленных в виде таблицы. Для проведения количественного анализа таких массивов данных в математике используется понятие матрицы.
Матрицей называется совокупность чисел, расположенных в виде таблицы из m строк и n столбцов. В этом случае матрица называется прямоугольной или размера m×n. Если число строк равно числу столбцов m = n, то матрица называется квадратной, порядка m. Числа, составляющие матрицу, называются ее элементами. Если все элементы матрицы равны нулю, то матрица называется нулевой. В частном случае матрица может состоять из одной строки или одного столбца. Элемент матрицы обозначается аij, здесь первый индекс i обозначает номер строки, второй индекс j обозначает номер столбца.
В общем случае матрица записывается в виде:
.
Если в матрице поменять местами строки и столбцы, то получится матрица, называемая транспонированной. Она записывается в виде:
.
Матрицу можно умножать на произвольное число 
, при этом каждый элемент умножается на это число:
.
Матрицы одного размера можно складывать (вычитать). При этом получается матрица, элементы которой равны суммам (разностям) соответствующих элементов слагаемых (вычитаемых) матриц:
.
Одну матрицу А можно умножать на другую матрицу В только в том случае, когда число столбцов первой матрицы А равно числу строк второй матрицы В. Произведение матриц обозначается как 
. Каждый элемент новой матрицы находится как сумма произведений элементов i -ой строки матрицы А на соответствующие элементы j -го столбца матрицы В:
При выполнении действий над матрицами следует учитывать следующие свойства:
1. Произведение матриц некоммутативно, то есть 
.
2. Произведение матриц ассоциативно, то есть 
.
3. Произведение матриц подчиняется дистрибутивному закону, то есть
.
4. Произведение матрицы на нулевую матрицу равно нулевой матрице.
Понятие обратной матрицы
При решении системы линейных уравнений используется понятие обратной матрицы. Обратная матрица обозначается символом 
.
Матрица называется обратной для матрицы А, если произведение 
, где Е - единичная матрица, то есть матрица, у которой элементы по диагонали равны 1, а остальные нули.
Обратная матрица находится по формуле
,
здесь D - определитель матрицы А, 
- матрица, составленная из алгебраических дополнений элементов матрицы А, где строки и столбцы меняются местами:
.
Заметим, если определитель матрицы D равен нулю D=0, то обратная матрица не существует.
