По теме «Аналитическая геометрия» рассмотрим решение типовой задачи.
Задача 1. Даны вершины треугольника АВС: А(-4;8), В(5;-4), С(10;6).
Найти:
1) длину стороны АВ;
2) уравнения сторон АВ и АС и их угловые коэффициенты;
3) угол А в радианах;
4) уравнение высоты СD и ее длину;
5) уравнение окружности, для которой высота СD есть диаметр;
6) систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС.
Решение.
1. Найдем длину стороны АВ.
Расстояние d между точками М1(х 1; у 1) и М2(х 2; у 2) определяется по формуле:
. (1)
Подставив в эту формулу координаты точек А и В, имеем:
АВ= 
.
2. Уравнение прямой, проходящей через точки М1(х1; у1) и М2(х2; у2), имеет вид:
(2)
Подставив в (2) координаты точек А и В, получим уравнение прямой АВ:
3 у –24 =–4 х –16, 4 х +3 у –8=0 (АВ)
Для нахождения углового коэффициента к АВ прямой АВ, разрешим полученное уравнение относительно у: у = 
.
Отсюда к АВ = 
.
Подставив в формулу (2) координаты точек А и С, найдем уравнение прямой АС:
х +7 у –52=0 (АС).
Отсюда к АС = 
.
3. Угол 
между двумя прямыми, угловые коэффициенты которых равны к 1 и к 2, определяется по формуле:
(3)
Угол А, образованный прямыми АВ и АС, найдем по формуле (3), подставив в нее к 1 = к АВ = , к 1 = к АС = .
4. Так как высота СD перпендикулярна стороне АВ, то угловые коэффициенты этих прямых обратны по величине и противоположны по знаку, т.е.
к СD = 
.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку М1(х1; у1) в заданном направлении, имеет вид:
(4)
Подставив в (4) координаты точки С(10;6) и к СD = 
, получим уравнение высоты СD:
у – 6 = (х – 10), 4 у – 24 = 3 х – 30, 3 х – 4 у – 6 = 0 (СD). (5)
Для нахождения длины СD определим координаты точки D, решив систему уравнений (АВ) и (CD):
, откуда х = 2, у = 0, то есть D (2; 0).
Подставив в формулу (1) координаты точек С и D, находим:
СD = 
.
5. Уравнение окружности радиуса R с центром в точка Е(
) имеет вид:
(6)
Так как СDявляется диаметром искомой окружности, то ее центр Е есть середина отрезка СD. Воспользуемся формулами деления отрезка пополам, получим:
Следовательно, Е (6; 3) и R = 
= 5. Используя формулу (6), получаем уравнение искомой окружности:
.
6. Множество точек треугольника АВС есть пересечение трех полуплоскостей, первая из которых ограничена прямой АВ и содержит точку С, вторая ограничена прямой ВС и содержит точку А, а третья ограничена прямой АС и содержит точку В.
Для получения неравенства, определяющего полуплоскость, ограниченную прямой АВ и содержащую точку С, подставим в уравнение прямой АВ координаты точки С:
> 0.
Поэтому искомое неравенство имеет вид: 4 х +3 у 
.
Для составления неравенства, определяющего полуплоскость, ограниченную прямой ВС и содержащую точку А, найдем уравнение прямой ВС, подставив в формулу (2) координаты точек Ви С:
(ВС).
Подставив в последнее уравнение координаты точки А, имеем:
< 0. Искомое неравенство будет 2 х – у – 14 
. Подобным образом составим неравенство, определяющее полуплоскость, ограниченную прямой АС и содержащую точку В: 
< 0. Третье искомое неравенство будет х +7 у –52 . Итак, множество точек треугольника АВС определяется системой неравенств:
На рис. 1 в декартовой прямоугольной системе координат хОу изображен треугольник АВС, высота СD, окружность с центром в точке Е и диаметром CD
Рис. 1
