Теорема сложения вероятностей

Теорема1 (теорема сложения вероятностей). Вероятность суммы конечного числа несовместных событий равна сумме их вероятностей.

Докажем теорему для двух событий. Пусть из общего числа n элементарных событий А благоприятствуют k случаев, а событию В – l случаев. Тогда вероятности этих событий Р(А)=k/n; Р(В)=l/n.

По условию, события А и В несовместны. Следовательно, ни один из k случаев, благоприятствующих событию А, не благоприятствует событию В. Последнему благоприятствуют другие l случаев. Отсюда следует, что сумме событий А+В благоприятствуют k+l случаев из n, поэтому вероятность события А+В есть

Р(А+В)=(k+l)/n. Или Р(А+В)=Р(А)+(В).Ч.т.д.

Теорема справедлива для любого конечного числа событий.

Пример: пусть вероятность того, что в магазине сначала будет продана пара мужской обуви 44-го размера, равна 0,12, 45-го – 0,04, 46-го или большего – 0,01. Найти вероятность того, что сначала будет продана пара мужской обуви не менее 44-го размера.

Искомое событие D произойдет, если будет продана пара обуви 44-го размера (событие А), или 45-го (событие В), или не менее 46-го (событие С), т.е. событие D есть сумма событий А,В,С. События А,В,С несовместны. Поэтому, применяя теорему сложения вероятностей, получим

P(D)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0,12+0,04+0,001=0,17

Следствие 1. Сумма вероятностей событий, образующих полную систему, равна единице.

Следствие 2. Вероятность события, противоположного событию А, равна разности между единицей и вероятностью события А.

Событие А и противоположное ему событие образуют полную систему. Поэтому на основании следствия 1 имеем Р(А)+Р()=1, откуда

Р()=1-Р(А).

Пример: в условиях предыдущего примера найти вероятность того, что сначала продана пара обуви меньше 44-го размера.

События «сначала будет продана пара обуви меньше 44-го размера» и «будет продана пара обуви размера не меньше 44-го» -- противоположные. Так как в предыдущем примере было найдено, что Р(D)=0,17, то вероятность искомого события Р()=1-0,17=0,83.

Теорема сложения вероятностей справедлива только для несовместных событий.

Пример: пусть всхожесть семян оценивается вероятностью 0,7. Какова вероятность того, что из трех посеянных семян взойдет какое-либо одно (безразлично какое)?

Обозначим через А,В,С события, состоящие в том, что взойдут соответственно первое, второе, третье семена. Если для отыскания искомой вероятности мы применим теорему сложения вероятностей, то получим Р(А+В+С)=0,7+0,7+0,7=2,1. Вероятность события оказалась больше единицы. Абсурдность ответа объясняется тем, что события А,В,С, к которым применена теорема, являются совместными. Действительно, если произошло, например, событие А (взошло первое семя), то это не исключает того, что произойдет событие В (взойдет второе семя).

Теорема2 ( теорема сложения вероятностей для совместных событий). Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления:

.

 

Задачи.

1.Техник во время интернет-экзамена обслуживает 4 компьютерных класса. Вероятность того, что любой класс в течение часа потребует внимания техника, равна 0,6. Предполагая, что неполадки в классах независимы, найти вероятность того, что в течении часа потребуют внимания техника: 1) все четыре класса; 2) ни один класс; 3) по крайней мере один класс.

2. В одном ящике 5 белых и 10 красных шаров, в другом ящике 10 белых и 5 красных шаров. Найти вероятность того, что хотя бы из одного ящика будет вынут один белый шар, если из каждого ящика вынуто по одному шару.

3. На проверку контрольной студенты первой группы сдали 30 работ, второй группы – 20 работ. В первой группе – 0,2% «неудовлетворительных» работ, во второй – 0,3%. Найти вероятность того, что взятая наудачу контрольная из нерассортированной стопки работ двух групп окажется «неудовлетворительной».

 

4.4. Теорема умножения вероятностей.

Пусть событие А влечет за собой событие В.

Теорема. Если событие А влечет событие В, то вероятность события А не превосходит вероятности события В.

Вероятность события А, найденная в предположении, что событие В наступило, называется условной вероятностью события А относительно события В.

Условную вероятность события А относительно события В будем обозначать символом . В таком случае означает вероятность события А, вычисленную в предположении, что событие В не наступило.

Пример: с первого завода на сборкукомпьютеров поступило200 контактных схем, из которых 180 годных, со второго – 300, из которых 260 годных. Найти вероятность события А, состоящего в том, что взятая наудачу схема является годной, и условные вероятности его относительно событий В и , если событие В состоит в том, что эта схема изготовлена на первом заводе.

Вероятность события А равна отношению числа всех годных схем к общему их числу, изготовленных на обоих заводах: Р(А)=(180+260)/(200+300)=0,88. Условная вероятность события А относительно события В (вероятность того, что взятая наудачу схема годная, если известно, что она изготовлена на первом заводе) =180/200=0,9. Условная вероятность события А относительно события , т.е. вероятность того, что взятая схема – годная, если известно, что она изготовлена не на первом (на втором) заводе, =260/300=0,87.

Теорема (теорема умножения вероятностей). Вероятность совместного наступления (произведения) событий А и В равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность другого, при условии, что первое событие наступило:

Р(АВ)=Р(А) или Р(АВ)=Р(В) (*)

Пример: среди 25 тетрадей четыре в клетку. Найти вероятность того, что две взятые одновременно тетради окажутся в клетку.

Искомое событие состоит в том, что в клетку окажутся и первая (событие А), и вторая (событие В) тетради. Но Р(А)=4/25, а =3/24, т.к. при наступлении события А общее число тетрадей и число их в клетку уменьшится на одну по сравнению с первоначальным. Таким образом, Р(АВ)=(4/25) (3/24)=0,02.

События А и В называются независимыми, если вероятность одного из них не изменяется при наступлении другого. В противном случае события А и В называются зависимыми.

Нельзя смешивать понятия независимости и несовместности событий. Смысл определения независимости событий заключается в том, что если произошло одно из независимых событий, то это никак не влияет на вероятность другого события. Если А и В независимые события, то они совместны.

Пример: бросили монету и игральную кость. Определить, зависимы или независимы события: А= «выпал «орел»»; В= «выпало четное число очков».

Теорема (теорема умножения для независимых событий). Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их вероятностей.

Доказательство: Если события А и В независимы, то =Р(В), а =Р(А) и формулы (*) принимают вид Р(АВ)=Р(А) Р(В).

Пример: считая вероятность присутствия группы в полном составе на лекции равной 0,9, найти вероятность присутствия двух групп.

Считая события А и В, состоящие в присутствии в полном составе соответственно первой и второй группы, независимыми и применяя к ним теорему умножения вероятностей, получим Р(АВ)=0,9 0,9=0,81.

 

Задачи.

1.На десяти карточках напечатаны цифры 0—9. Найти вероятность того, что три наудачу взятые и выложенные в ряд карточки составят число 125.

2.Брошены последовательно три монеты. Определить, зависимы или независимы события: А= «выпадение «орла» на первой монете»; В= «выпадение хотя бы одной «решки»».

3. В ящике 10 красных и 6 синих пуговиц. Вынимаются наудачу две пуговицы. Какова вероятность того, что пуговицы будут одноцветными?

4. Из 60 вопросов, входящих в экзаменационные билеты, студент подготовил 50. Какова вероятность того, что взятый наудачу студентом билет, содержащий два вопроса, будет состоять из подготовленных им вопросов?

5. Пусть вероятность того, что покупателю необходима обувь 38-го размера, равна 0,2. Найти вероятность того, что пять первых покупателей потребуют обувь 38-го размера.