Пусть даны матрицы
, 
, 
Тогда система линейных уравнений (5) может быть записана в матричном виде:
| (7) |
Допустим 
, тогда для нее существует обратная матрица 
. Умножим равенство (7) на 
слева: 
, т.к. 
, то имеем матричное решение системы линейных уравнений (5): 
.
g Решим матричным методом следующую систему:
Матрицу, обратную к матрице, составленной из коэффициентов системы находим, см. п. 1.1.7.
g Самостоятельно решить матричным способом следующую систему:
Решение систем линейных алгебраических уравнений методом исключения неизвестных (метод Гаусса).
· Под элементарными преобразованиями матриц понимаются следующие операции:
§ Перестановка строк (столбцов);
§ Умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;
§ Прибавление к элементам какой-либо строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число.
· Матрицы, переходящие друг в друга в результате элементарных преобразований, называются эквивалентными: 
.
Для решения систем линейных алгебраических уравнений применяется также метод исключения неизвестных, называемый методом Гаусса. Основная идея этого метода состоит в том, что матрица системы, расширенная столбцом свободных членов, элементарными преобразованиями преобразуется к верхнетреугольному виду. Например,
,
здесь столбец 
— столбец свободных членов системы.
В этом состоит прямой ход метода Гаусса. После его выполнения для отыскания неизвестных осуществляется обратный ход. Последняя строка преобразованной матрицы соответствует уравнению:
.
Предыдущее уравнение имеет вид:
.
Подставляя найденное значение x4 в последнее уравнение, находим из него x3. Следующее уравнение 
уже содержит только одну неизвестную x2 и последнее уравнение 
только неизвестную x1. Таким образом, совершая «обратный ход» метода Гаусса находятся все неизвестные системы уравнений.
g Решить систему линейных уравнений:
Прямой ход метода Гаусса завершен. Выполните обратный ход.
Однородная система
A = 
Пусть r (A) = k.
Тогда k уравнений системы являются самостоятельными, остальные уравнения являются следствием остальных.
так как r (A) = k., то определитель
Принимая правую часть системы за свободные члены, решим систему методом Крамера или методом Гаусса. Переменные 
могут принимать произвольные значения, а переменные 
будут выражаться через . Система имеет бесчисленное множество решений.
Если же дана неоднородная система
где 
то система имеет бесчисленное множество решений и эти решения находятся таким же способом, что и у однородной системы.
Задание: Решить систему
1.
2.
Комплексные числа
