· Теорема 3: Определитель n-го порядка равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
для строки с номером i,
, для элементов k-го столбца =
1.1.6. Алгебра матриц: сложение, умножение на число, произведение матриц.
Пусть даны две матрицы A и B.
· Суммой (разностью) матриц A и B называется матрица C, элементы которой 
, где 
ij, bij элементы матриц A и B соответственно.
Сумма (разность) определяется только для матриц одинаковой размерности.
g Сложите:
· При умножении матрицы A на число 
нужно все элементы матрицы A умножить на это число.
g Пусть l=-2, 
.
lA=
· Произведением матриц Amxn и Bnxp называется матрица Cmxp, элементы которой вычисляются по формуле 
, для
i=1,2, …, m; j=1,2, …, p.
В общем случае 
, а иногда и вовсе не определено.
Пусть 
, 
.
Найти 
.
, где
g Самостоятельно найдите 
Обратная матрица.
· Матрица А-1 называется обратной для невырожденной матрицы A, если: 
, где E — единичная матрица. Для квадратной невырожденной матрицы третьего порядка обратная матрица находится по формуле:
, где A11, A12, …, A33 — алгебраические дополнения элементов матицы A.
g Найти обратную для матрицы 
, поэтому для A существует обратная матрица A-1, для ее нахождения вычислим все алгебраические дополнения элементов матрицы
| A11= | A21= | A31= | |||
| A12= | A22= | A32= | |||
| A13= | A23= | A33= |
Таким образом, обратная к матрице A матрица:
Ранг матрицы
< Рангом матрицы называется наибольший порядок отличного от нуля определителя, порожденного данной матрицей.
· При вычислении ранга матрицы производят те же преобразования, что и при вычислении определителя
· Найти ранг матрицы.
, r (ранг) =2
- ранг матрицы фактически равен числу отличных от нуля элементов, примыкающих к гипотенузе нулевого треугольника.
Системы линейных уравнений.
· Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными x1, x2, x3 имеет вид:
| (5) |
Где ij — коэффициенты системы; bi — свободные члены.
· Определитель третьего порядка D, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы.
Обозначим его D, а D1, D2, D3 – определители, полученные из D соответственно вычеркиванием первого, второго и третьего столбцов и заменой их столбцом свободных членов.
 ,  ,  , 
| (6) |
Решение систем линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера.
Если для системы уравнений (5) 
, то система имеет единственное решение, которое находится по следующим формулам, называемым формулами (или правилом) Крамера:
, 
, 
, где все определители вычисляются по формулам (6).
Если 
, то система является либо несовместной (неопределенной) или имеет бесчисленное множество решений.
g Решить систему по формулам Крамера:
