Понятие об определителе n-го порядка

 

· Теорема 3: Определитель n-го порядка равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

для строки с номером i,

, для элементов k-го столбца =

 

1.1.6. Алгебра матриц: сложение, умножение на число, произведение матриц.

 

Пусть даны две матрицы A и B.

· Суммой (разностью) матриц A и B называется матрица C, элементы которой , где _ij, b_ij элементы матриц A и B соответственно.

Сумма (разность) определяется только для матриц одинаковой размерности.

g Сложите:

· При умножении матрицы A на число нужно все элементы матрицы A умножить на это число.

g Пусть l=-2, .

 

 

lA=

 

 

· Произведением матриц A_mxn и B_nxp называется матрица C_mxp, элементы которой вычисляются по формуле , для
i=1,2, …, m; j=1,2, …, p.

В общем случае , а иногда и вовсе не определено.

Пусть , .

Найти .

, где

 

 

g Самостоятельно найдите

 

 

Обратная матрица.

 

· Матрица А^-1 называется обратной для невырожденной матрицы A, если: , где E — единичная матрица. Для квадратной невырожденной матрицы третьего порядка обратная матрица находится по формуле:

, где A₁₁, A₁₂, …, A₃₃ — алгебраические дополнения элементов матицы A.

g Найти обратную для матрицы

 

 

 

, поэтому для A существует обратная матрица A^-1, для ее нахождения вычислим все алгебраические дополнения элементов матрицы

A11=		A21=		A31=
A12=		A22=		A32=
A13=		A23=		A33=

 

 

Таким образом, обратная к матрице A матрица:

 

 

 

Ранг матрицы

 

< Рангом матрицы называется наибольший порядок отличного от нуля определителя, порожденного данной матрицей.

· При вычислении ранга матрицы производят те же преобразования, что и при вычислении определителя

· Найти ранг матрицы.

 

, r (ранг) =2

- ранг матрицы фактически равен числу отличных от нуля элементов, примыкающих к гипотенузе нулевого треугольника.

 

Системы линейных уравнений.

 

· Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными x₁, x₂, x₃ имеет вид:

(5)

 

Где _ij — коэффициенты системы; b_i — свободные члены.

· Определитель третьего порядка D, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы.

Обозначим его D, а D₁, D₂, D_{3 –} определители, полученные из D соответственно вычеркиванием первого, второго и третьего столбцов и заменой их столбцом свободных членов.

, , ,

(6)

 

Решение систем линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера.

 

Если для системы уравнений (5) , то система имеет единственное решение, которое находится по следующим формулам, называемым формулами (или правилом) Крамера:

, , , где все определители вычисляются по формулам (6).

Если , то система является либо несовместной (неопределенной) или имеет бесчисленное множество решений.

g Решить систему по формулам Крамера: