Определители второго и третьего порядка. Их свойства

Рассмотрим квадратную матрицу второго порядка

(3)	и	(4)

· Определителем второго порядка (4) квадратной матрицы (3) называется число .

Например, ,

· Определителем квадратной матрицы третьего порядка называется число:

Чтобы запомнить какие произведения следует брать со знаком плюс, а какие со знаком минус, можно пользоваться следующим схематично изображенным правилом:

g Рассчитайте значения определителей:

1.

2.

3.

4.

5.

Свойства определителей.

1° Определитель не изменится, если строки определителя заменить соответствующими столбцами.

Докажем это на примере определителя второго порядка. Вычислим:

и

Поскольку , то

g Доказать самостоятельно для определителя третьего порядка:

 

 

2° Общий множитель элементов какой-либо строки (столбца) определителя может быть вынесен за знак определителя.

Действительно:

3° Если элементы одной строки (столбца) определителя соответственно равны элементам другой строки (столбца) определителя, то определитель равен нулю.

g Самостоятельно докажите для определителя III порядка.

 

4° При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет свой знак на противоположный.

g Самостоятельно доказать для определителя III порядка.

 

 

5° Определитель не изменится, если к элементам одной строки (столбца) прибавить соответственно элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число (теорема о линейной комбинации параллельных рядов определителя).

Действительно, покажем на примере:

 

Алгебраические дополнения и миноры.

 

· Минором M_ij элемента _ij определителя третьего порядка называется определитель второго порядка, который получается, если в исходном определителе вычеркнуть строку i и столбец j, содержащие элемент _ij.

· Алгебраическим дополнением элемента _ij называется его минор, умноженный на (-1)^k, где k=i+j; .

g Для матрицы найдите алгебраические дополнения элементов ₁₃, ₂₂, ₁₂, ₂₃:

 

 

Вычисление определителя разложением по элементам строки (столбца).

· Теорема 1: Определитель третьего порядка равен сумме произведений элементов любой его строки или столбца на их алгебраические дополнения.

g Проверьте самостоятельно для i=2; j=1.

 

Доказательство.

 

 

· Теорема 2: Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) равна нулю.

 

 

· Квадратная матрица A называется невырожденной (неособой), если . Если же detA=0, то она называется вырожденной (особой).