Рассмотрим течение смачиваемой жидкости по горизонтальной трубе круглого сечения радиусом r. Жидкость считаем несжимаемой и вязкой. Обозначим скорость течения в некоторой точке поперечного сечения трубы v, а расстояние этой точки от оси трубы обозначим y. Выделим внутри жидкости элементарный цилиндрический объём с осью, совпадающей с осью трубы, и боковой поверхностью, параллельной стенкам трубы и проходящей через точку с координатой y. Высоту цилиндра вдоль оси течения обозначим Dx. Так как движение стационарное и равномерное, то сила давления, действующая на основание цилиндрического объёма DP×py2, и сила вязкости, действующая на боковую поверхность цилиндра
должны уравновешиваться.
(1)
После интегрирования, полагая, что у стенок имеет место прилипание жидкости, т.е. скорость на расстоянии равном r от оси скорость равна нулю (vr = 0), и получим.
(2)
Это соотношение устанавливает закон распределения скоростей течения в данном сечении трубы. Считая падение давления на единицу длины трубы постоянным (DP/Dx = const.) и объединяя постоянные получим выражение для скорости.
(3)
Т.е. скорость частиц жидкости распределяется в сечении трубы по параболическому закону. Вершина параболы лежит на оси трубы. Непосредственную опытную проверку этого закона провести сложно, так как любой измеритель скорости, помещённый в трубу, искажает распределение скоростей в месте измерения. Поэтому подсчитаем расход жидкости (количество жидкости, протекающей через сечение трубы за единицу времени) в предположении, что выражение (2) справедливо, а затем сравним его с фактически измеренным расходом. Так как скорость частиц жидкости зависит от их расстояния от стенок трубы, то мы подсчитаем элементарный расход жидкости через кольцевое сечение радиуса y и толщиной dy, в пределах которой скорость течения можно считать постоянной. За единицу времени через площадь кольцевого сечения вытекает объём жидкости.
(4)
Тогда с учётом (2) запишем.
(5)
Интегрируя по всем кольцевым сечениям от 0 до r, получим расход жидкости в трубе.
(6)
Разделим расход жидкости на площадь сечения трубы S = p×r2, получим среднюю скорость течения.
(7)
Эта зависимость называется законом Гагена-Пуазейля: средняя скорость параллельно струйного течения жидкости в трубе прямо пропорциональна падению напора на единицу длины трубы, квадрату радиуса трубы и обратно пропорционально коэффициенту вязкости жидкости.
Движение жидкости параллельными слоями называется ламинарным течением (от греческого "ламина" – слой).
Величина 
– равна потере давления на единицу длины трубы.
Из (7) получим.
(8)
Т.е. сила сопротивления при ламинарном течении прямо пропорциональна первой степени скорости.
Проверка законом Гагена-Пуазейля осуществляется легко. При этом получается неожиданный результат. Уравнение (7) оказывается справедливым лишь при малых скоростях течения жидкости и малых размерах труб. Точнее говоря, при малых значениях некоторого безразмерного числа.
(9)
В этом выражении: vСр – средняя скорость; r - плотность жидкости; h – коэффициент вязкости жидкости. Число Re – носит название числа Рейнольдса.
При выводе закона Гагена-Пуазейля были использованы: второй закон Ньютона, применимость которого к движению жидкости не вызывает сомнения; закон Ньютона для вязкости, справедливость которого неоднократно проверялась. Следовательно, ошибочно какое-то предположение, которым пользовались. Осборн Рейнольдс (английский учёный) в 1883 г. впервые обнаружил, что условие параллельности скоростей жидкости выполняется при данных размерах трубы и для данной жидкости лишь до некоторого значения скорости (критическая скорость), выше которого течение теряет ламинарный характер.
Рейнольдс пускал в трубу с текущей жидкостью окрашенную струю. При достаточно малых значениях скорости течение было ламинарным, и краска двигалась резко очерченной струёй.
Но как только скорость течения жидкости достигала критического значения, струя краски быстро расходилась по всему сечению трубы виде вихревых образований – траектории частиц переставали быть параллельными и их скорости беспорядочно менялись как по величине, так и по направлению.
Представление (которое кажется самоочевидным) о том, что цилиндричность стенок трубы вынуждает все частицы жидкости двигаться параллельно им, в действительности, для скоростей, больших критических, не оправдывается.
При ламинарном течении: жидкость движется слоями, и скорости в каждом сечении параллельны друг другу; скорости частиц жидкости меняются от твёрдых границ внутрь потока по параболическому закону; сопротивление движению жидкости или твёрдого тела в ней прямо пропорциональна первой степени скорости, причём сопротивление обязано своим происхождением действию сил вязкости.
Если траектории частиц жидкости искривляются, то на них должна действовать некоторая сила, сообщающая им центростремительное ускорение. В потоке вязкой жидкости на каждую частицу действует сила давления FP и сила вязкости FВ. Эти силы и обуславливают возникновение ускорения частиц. По второму закону Ньютона.
(10)
Если система отсчёта связана с движущейся частицей, то в этой системе отсчёта на частицу будет действовать сила инерции, равная m×(dv/dt).
(Силы инерции мы рассмотрим позже).
Можно предположить, что степень устойчивости ламинарного течения характеризуется отношением сил инерции к силам вязкости, так как силы инерции, по-видимому, тем больше, чем больше отклонение траектории частиц в потоке от прямолинейного направления, а сила вязкости препятствует возникновению этих отклонений.
Силы инерции выражаются через произведение плотности жидкости на объём и на производную скорости по времени. Производную скорости по времени можно представить как величину, пропорциональную следующему отношению.
(11)
v0 – некоторая скорость, характерная для данной задачи. l0 – некоторая характерная длина. Масса, т.е. произведение плотности на объём, пропорциональна r×l03. Тогда сила инерции будет равна.
(12)
Сила вязкости пропорциональна производной скорости по расстоянию – v0/l0, некоторой площади l02 и коэффициенту вязкости h.
(13)
Найдём отношение FИ к F B. Легко видеть, что оно равно с точностью до постоянного множителя безразмерному числу, которое назвали числом Рейнольдса.
(14)
v = h/r – коэффициент кинематической вязкости.
В число Рейнольдса (14) входит некоторая скорость v0, размер l0 и коэффициент кинематической вязкости. Коэффициент вязкости определён, если известна жидкость в потоке, для которого вычисляется значение Re. Скорость v0 есть скорость характерная для данного случая течения жидкости, например, для течения жидкости в длинной трубе – это средняя скорость в сечении трубы. Для случая обтекания жидкостью шарика – это скорость его движения относительно жидкости и т.д. Характерным размером в случае течения жидкости в трубе служит диаметр трубы. При обтекании малого по сравнению с размером потока шарика – это диаметр шарика и т.д.
