Системы координат, используемые в задаче прицеливания

Для исследования движения ЛА как твердого тела применяются прямоугольные правые системы координат, определяющие его пространственное положение тремя линейными координатами и тремя углами. В зависимости от расположения начала системы отсчета выделяют две группы систем координат: связанные с землей и связанные с ЛА.

В первой группе наиболее часто используется инерциальная система координат Ox _ин y _ин z _ин. Оси этой системы координат не изменяют своего направления в пространстве. Направление осей выбирают в соответствии с решаемой задачей. Инерциальная система координат участвует только в поступательном движении Земли вокруг Солнца, и положение ее осей не зависит от суточного вращения Земли.

Большая вторая группа координат объедена общим признаком – расположением начала координат в характерной точке движущегося ЛА, обычно в центре масс. В практике используют географическую, горизонтированную, траекторно-горизонтированную, связанную, скоростную и лучевую системы координат.

Географическая система координат Ox_gy_gz_g. Начало этой системы координат точка О совпадает с центром тяжести ЛА. Ось Ох_g лежит в меридиальной плоскости и направлена на север; ось Оу_g направлена по нормали – географической местной (географической) вертикали – перпендикулярно оси Ох_g; ось Оz_g вместе с осью Ох_g находится в местной горизонтальной плоскости и дополняет систему координат до правой тройки векторов.

Связанная система координат Ox _св y _св z _св. Для определения координат БАК относительно географической системы координат применяется связанная с БАК система координат, то есть система, неподвижная относительно ЛА. Начало связанной системы координат совмещают с центром тяжести ЛА, который будем считать неподвижным относительно корпуса аппарата. Оси Ох _св и Оу _св располагают в плоскости симметрии ЛА, причем ось Ох _св направляется вперед, а ось Оу _св – вверх, перпендикулярно оси Ох _св. Тогда ось Oz _св, перпендикулярная к плоскости симметрии Ох _св у _св, образует правую систему координат и будет направлена в сторону правого крыла. Ось Ох _св может быть направлена либо параллельно хорде крыла ЛА, либо вдоль строительной горизонтали. В данной задаче она направлена вдоль оси корпуса ЛА. Также полагаем, что связанные оси близки к главным центральным осям инерции ЛА.

БАК как жесткое тело имеет шесть степеней свободы, и соответственно положение БАК относительно географической системы координат определяется шестью координатами: тремя координатами x ₀, y ₀, z ₀ начала О связанной системы координат и тремя углами между связанной и географической системами координат. Эти углы определяют следующим образом.

Углом рысканья ψ называют угол между проекцией оси Ох _св связанной системы координат на местную горизонтальную плоскость Ox_gy_g и осью Ох_g географической системы координат (направлением на север).

Углом тангажа ϑ называют угол между продольной осью Ох _св и местной горизонтальной плоскостью.

Углом крена γ называют угол между местной вертикальной плоскостью, проходящей через продольную ось Ох _св, и осью Оу _св.

Горизонтированная система координат Оx _гор y _гор z _гор. Начало этой системы координат точка совпадает с центром тяжести ЛА. Ось Ох _гор направляется по оси симметрии БАК и располагается в местной горизонтальной плоскости. Оу _гор располагают в плоскости симметрии БАК и направляют вверх, перпендикулярно оси Ох _гор. Боковая ось Оz _гор дополняет две названные оси до правой системы координат.

Легко видеть, что положение горизонтированной системы координат относительно связанной определяется описанными выше углами крена γ и тангажа ϑ, а относительно географической – углом рысканья ψ.

Скоростная система координат Ox _ск y _ск z _ск. При изучении движения центра тяжести БАК удобно в качестве подвижной системы координат выбирать систему с осью Ох _ск, направленной по вектору воздушной скорости центра тяжести ЛА. Начало координат такой системы располагается в центре тяжести ЛА, оси Oy _ск и Oz _ск лежат в плоскости, нормальной к вектору воздушной скорости . В динамике полета направление оси Оу _ск выбирают как правило в плоскости симметрии БАК (иногда в вертикальной плоскости Ох_gу_g – полускоростная система координат). Боковая ось Oz _ск, перпендикулярная этой плоскости симметрии, очевидно, будет направлена в сторону правого горизонтального крыла.

Положение скоростной относительно связанной системы координат определяется с помощью следующих углов.

Углом атаки α называют угол между проекцией вектора воздушной скорости на плоскость симметрии БАК и осью Ох _св связанной системы координат;

Углом скольжения β называют угол между вектором воздушной скорости и плоскостью симметрии ЛА.

Траекторно-горизонтированная система координат Ox _трг y _трг z _трг. Начало этой системы координат помещают в центр масс ЛА. Ось Ox _трг располагают в местной горизонтально плоскости и направляют по вектору путевой скорости ЛА. Ось Oy _трг направляют вверх от поверхности Земли в вертикальной плоскости, проходящей через ось Ox _трг. Ось Oz _трг направлена горизонтально в сторону правого крыла.

Положение траекторно-горизонтированной системы координат относительно географической определяется углом Y.

Путевым углом Y или углом курса называется угол между проекцией вектора земной скорости на горизонтальную плоскость и осью Ох_g.

В случае просто траекторной системы координат дополнительно необходимо учитывать угол q. Углом наклона траектории q называется угол между путевой скоростью БАК и горизонтальной плоскостью.

Лучевая система координат Ox _л y _л z _л. Она определена относительно связанной системы координат углами j _y и j _z, представляющими собой углы визирования цели, определяющие пространственное положение осей Oy _л и Oz _л лучевой системы координат относительно соответствующих осей связанной системы координат.

Положение лучевой системы координат относительно горизонтированной определяется помимо углов j _y и j _z углами крена γ и тангажа ϑ, которые были определены выше.

Преобразования, связанные с переходом из одной системы координат к другой, осуществляются с помощью матриц направляющих косинусов. Матрицу удобно обозначать двумя индексами , где нижний индекс соответствует основной системе координат, а верхний – системе, определяемой последовательным поворотом на эйлеровы углы относительно основной. Элементами матрицы, являются функции эйлеровых углов поворота:

Каждый элемент матрицы равен проекции единичного вектора, направленного по одной координатной оси основной системы, на соответствующую ось определяемой системы, то есть .

Функции углов записаны в каждом элементе в порядке, соответствующем очередности поворотов основной системы координат. Так, например, элемент означает, что сначала основную систему повернули на угол y, затем на угол J и в конце – на угол g.

Если надо осуществить переход от второй системы координат к первой, то необходимо воспользоваться транспонированной матрицей. Сложный последовательный переход от первой системы координат ко второй и от второй к третьей осуществляется по правилу перемножения матриц: