Постановка задачи прицеливания как задачи управления конечным состоянием многоступенчатой динамической системы

Задачи прицеливания при подробном их рассмотрении различаются между собой в зависимости от типа БАК, применяемого АСП, характеристик объекта, по которому производится прицеливание и пр. Тем не менее, можно говорить и об общем содержании задачи прицеливания, едином для различных режимов применения АСП [2].

Рассмотрим математическое описание задачи прицеливания. Пусть цель Ц движется по некоторой траектории 1 (см. рис. 6), а ЛА-носитель АСП движется по траектории 2. Предположим, что в момент в точке O с БАК по цели выпускается АСП. При этом точка О становится неподвижной относительно воздуха. В процессе полета АСП его положение определяется вектором , а положение цели – вектором .Тогда текущее отклонение АСП от цели будет характеризоваться вектором:

, (1)

где – текущее время полета АСП.

Требуется обеспечить попадание АСП в цель или другую намеченную область, то есть в случае прямого попадания в цель обеспечить, чтобы траектории цели и АСП пересеклись в некоторой точке, в некоторый момент времени.

Дифференцируя выражение (1) по времени , получим дифференциальное уравнение для вектора :

, (2)

где , – векторы скоростей АСП и цели, соответственно;

– вектор дальности цели в момент предполагаемого пуска АСП.

Скорость АСП и скорость цели в уравнении (2) являются неизвестными. В частности, определение скорости НАСП осуществляется на основе решения задачи внешней баллистики. Уравнения для определения в общем виде могут быть записаны следующим образом:

; (3)

, (4)

где , – известные нелинейные векторные функции;

– вектор случайных возмущений, действующих на АСП в полете.

Движение цели также может быть описано на основе известных законов механики. В общем виде уравнения движения цели записываются следующим образом:

; (5)

, (6)

где , – известные нелинейные векторные функции;

– вектор управления цели;

– вектор случайных возмущений, действующих на цель в течение полета НАСП.

При заданных векторах случайных возмущений и , векторе управления цели и начальных условиях система уравнений (2) ÷ (6) является замкнутой. В результате ее решения получаем текущее значение вектора отклонения АСП от цели после пуска/сброса АСП.

Через некоторое время T после выстрела абсолютная величина становится минимальной. Условие минимума может быть записано в виде:

. (7)

Данное условие по существу определяет ОВА. Если БАК находится в ОВА, то достаточное условие минимума абсолютной величины отклонения АСП от цели всегда выполняется. При этом минимум может быть определен на основе выполнения условия (7).

Условие минимума (7) по сути является граничным при решении задачи прицеливания. Значение текущего отклонения в момент выполнения граничного условия (7) обозначим . Время T получило название времени полета АСП – время от момента предполагаемого пуска/сброса АСП до момента выполнения условия (7).

Для решения задачи прицеливания (в случае прямого попадания) необходимо, чтобы величина была равна нулю. Тогда в качестве параметра прицеливания целесообразно принять вектор:

. (8)

Данный вектор называют вектором промаха. Этот параметр определяет как величину, так и направление уменьшения отклонения на момент выполнения граничного условия (7) и является удобным для реализации на его основе управления БАК.

С учетом выражений (2) ÷ (6) и (8) можно записать систему дифференциальных уравнений, обеспечивающих определение векторного параметра прицеливания, в виде:

(9)

Параметр прицеливания определяется с помощью системы (9) в момент выполнения граничного условия:

. (10)

Анализ системы уравнений (9) показывает, что задача управления изменением вектора относительного положения АСП и цели может быть решена путем изменения начальных условий пуска АСП: изменения фазовых координат БАК и АСП. При этом процесс управления вектором называют процессом прицеливания, а параметр управления – параметром прицеливания.

По вычисленному параметру прицеливания осуществляется управление БАК. Но значения параметра прицеливания справедливы лишь для того момента времени, для которого они вычислены. Для управления же необходима непрерывная информация о параметре прицеливания. Следовательно, после выполнения граничного условия (10) и определения параметра прицеливания для некоторого момента времени необходимо вновь начать решение системы (9), но уже при изменившихся за время предыдущего решения начальных условиях, и закончить его вновь по условию (10). И так далее. В качестве начальных условий для системы (9) при этом необходимо использовать значения соответствующих величин в текущем времени t решения задачи прицеливания. Тогда получается, что система (9) решается в своем времени , управление БАК осуществляется в текущем реальном времени t. Время , как правило, является ускоренным, поскольку необходимо обеспечить малый интервал дискретности получения информации о параметре прицеливания для того, чтобы процесс управления БАК удовлетворял требованиям по точности и устойчивости.

В результате параметр прицеливания представляется последовательностью дискретных отсчетов, с интервалом дискретности, равным реальному времени решения системы уравнений (9) на каждом шаге (от момента выполнения граничного условия). В пределах интервала дискретности параметр прицеливания является постоянным. Если масштаб ускорения времени при решении системы (9) равен n_g, а реальное время ее решения (интервал дискретности) равно t_g, то реальное время полета АСП определяется по формуле:

.

Таким образом, параметр прицеливания представляет собой кусочно-непрерывную функцию времени полета АСП и текущего времени прицеливания . Условие выполнения прицеливания может быть записано в виде:

.

Как уже отмечалось, для решения системы уравнений (9) необходимо знать начальные условия для параметра прицеливания, для уравнений, характеризующих движение АСП и цели. В качестве этих начальных условий на борту БАК используются измеренные с помощью бортовых средств текущие значения фазовых координат ЛА, АСП и цели. Изучение и исследование процесса прицеливания, таким образом, должны базироваться на единой математической модели, включающей модель ЛА, модель цели, модель информационной системы, обеспечивающей измерение фазовых координат ЛА, АСП и цели, модель определения параметра прицеливания, модель системы управления полетом ЛА.

Современные БАК, включающие носитель и АСП, в том числе и многоступенчатое, представляют собой многоступенчатые динамические системы. Характерным свойством таких систем является зависимость начальных условий каждой последующей ступени от конечных условий предыдущей. В каждый момент времени система может находиться в состоянии одной из ступеней и переход от ступени к ступени осуществляется при выполнении соответствующих условий переключения. При этом, в общем случае, ступени могут включать в себя некоторую совокупность параллельно работающих подсистем с различной, в том числе, и случайно изменяющейся структурой.

Задача прицеливания при таком рассмотрении БАК заключается в управлении конечным состоянием МДС “БАК – многоступенчатое АСП – цель”. Конечное состояние таких МДС может, например, характеризоваться промахом АСП, в общем случае последней ступени многоступенчатого АСП, по отношению к цели.

Задача прицеливания является задачей управления БАК и АСП для достижения наибольшей эффективности применения последней ступени АСП.

Достаточно представительным показателем качества процесса прицеливания, являющимся одним из основных показателей, определяющих эффективность БАК, является точность применения АСП, которая определяется вектором промаха.

Вектор промаха, в терминах теории МДС, определяет конечное состояние МДС “БАК – АСП – цель”. Понятие промаха неразрывно связано с временем окончания существования последней ступени МДС.

Рассмотрим математическую формулировку задачи прицеливания как задачи управления конечным состоянием МДС “БАК – АСП – цель”.

Уравнения 1-ой динамической ступени “БАК – цель”.

Уравнение относительного движения БАК и цели:

.

Уравнение движения цели:

;

.

Уравнение движения ЛА:

;

.

Уравнения 2-ой динамической ступени “1-ая ступень АСП – цель”.

Уравнение относительного движения 1-ой ступени АСП и цели:

.

Уравнение движения цели:

; .

Уравнение движения 1-ой ступени АСП:

,

;

.

Уравнения -ой динамической ступени “ -ая ступень АСП – цель”.

Уравнение относительного движения -ой ступени АСП и цели:

,

.

Уравнение движения цели:

;

.

Уравнение движения -ой ступени АСП:

,

;

,

.

В выше приведенных уравнениях введены следующие обозначения:

D – вектор дальности до цели;

V _ц – вектор абсолютной скорости цели;

r _ц – вектор геометрических координат цели;

U _ц – вектор управления цели;

– векторы случайных возмущений, действующих на цель;

V _а – вектор абсолютной скорости ЛА;

r _а – вектор геометрических координат ЛА;

U _а – вектор управления ЛА;

– векторы случайных возмущений, действующих на ЛА;

V_{o j} – вектор абсолютной скорости -ой ступени АСП, ;

– вектор начальной относительной скорости -ой ступени АСП ();

r_{o j} – вектор геометрических координат -ой ступени АСП, ;

U_{o j} – вектор управления j -ой ступени АСП, ;

Y_i – вектор состояния i -ой ступени МДС “БАК – АСП – цель”, , включающий векторы, характеризующие движение (в том числе и относительное) цели, БАК и АСП на этапе функционирования i -ой ступени.

Предполагается, что законы управления ступенями АСП заданы и допускают настройку на борту БАК с помощью векторов параметров настройки. В частном случае ступени АСП могут быть неуправляемыми.

Условия переключения ступеней в общем случае могут определяться следующими выражениями:

,

где l_i – вектор настройки параметров переключения ступеней.

Например, в случае применения контейнерного АСП в качестве параметра настройки может выступать заданная высота или время после сброса раскрытия контейнера.

При i = m выше приведенное условие является условием окончания последней ступени и, следовательно, всей МДС “БАК – АСП – цель”. Из этого условия определяется время полета последней ступени АСП до цели.

Рассмотрим задачу управления МДС “БАК – АСП – цель” при решении задачи боевого применения (см. рис. 7).

На рис. 7 используются следующие обозначения:

– точки положения БАК и цели в момент применения АСП;

– точки положения цели и первой ступени АСП в момент переключения второй ступени МДС “БАК – АСП – цель”;

– точки положения цели и последней ступени АСП в момент t_mk выполнения условия окончания последней ступени МДС “БАК – АСП – цель”.

Указанное в качестве аргумента вектора промаха время t ₁ подчеркивает, что этот промах соответствует применению АСП с БАК в момент t ₁.

Векторы промаха, рассматриваемые в описанной выше задаче, представляют собой радиусы-векторы, соединяющие центры масс последней ступени АСП и цели, т.е. речь идет о промахе центра масс АСП по отношению к цели. В более общем случае может рассматриваться промах, учитывающий дополнительно угол подхода АСП к цели, относительную скорость АСП и т.д. Выше представленные уравнения МДС “БАК – АСП – цель” содержат лишь описание движения центров массы входящих в систему объектов. В более общем случае математическое описание МДС может содержать уравнения движения и вокруг центра массы. В случае, когда АСП неуправляемое, уравнения, описывающие движение ступеней АСП, являются уравнениями внешней баллистики.

Задача прицеливания состоит в управлении системой “БАК – АСП – цель” для достижения минимума модуля или, что практически то же самое, квадрата модуля вектора промаха. При этом в сформулированной выше задаче управлению в общем случае могут подлежать:

- вектор управления БАК;

- векторы , относительной начальной скорости ступеней АСП;

- векторы , параметров настройки законов управления ступенями АСП;

- векторы , параметров настройки условий переключения ступеней.

Для решения задачи прицеливания необходимо измерять параметры движения ЛА, цели и среды, например, вектор скорости ветра и т.п. При решении задачи статистически оптимального прицеливания необходимо решать задачу оптимального оценивания указанных выше параметров. Для оптимального управления БАК и АСП при прицеливании необходимо вычислять производные векторов состояния динамических ступеней, в том числе, и производную вектора конечного состояния МДС – вектора промаха, – которая может быть получена на основе уравнения динамики конечного состояния МДС “БАК – АСП – цель”.

При боевом применении АСП, в частности, при применении НАСП по наземным целям, в качестве вектора часто рассматривают вектор ошибки попадания АСП в цель (ошибки применения АСП), содержащий компонентами его проекции на оси специально выбираемой системы координат, начало которой совмещается с целью. Таким образом, задачей управления процессом доставки АСП на наземный или надводный объект является сведение абсолютной величины вектора ошибки применения АСП к минимуму, которая решается на основании определения закономерности изменения вектора .