Аффинное пространство. Базис. Размерность. Привести примеры аффинных пространств различной размерности

Аффинным пространство называется мно-во точек и векторов, элементы которого находятся в отношениях, определённых аксиомами откладывания вектора и умножения вектора на число.

Линейно независимая система векторов называется базисом аффинного пространства, если любой вектор этого пространства может быть представлен виде линейной комбинации этих векторов.

Размерность определяется кол-вом векторов, которые могут составлять базис.

прямая, плоскость и пространство.

Доказать теорему о существовании и единственности разложения вектора по произвольному базису. Координаты векторов.

Т: Каждый вектор аффинного пространства может быть представлен в виде линейной комбинации базиса и при том только единственным образом.

О: Упорядоченная тройка чисел x,y,z, определяющая разложение вектора по базису называется координатами вектора в этом базисе.

Аффинная система координат. Радиус-вектор. Координаты точки. Доказать теорему о координатах векторов.

Совокупность произвольной точки (начала координат) и векторов, е₁, е₂ и е₃, образующих базис называют аффинной системой координат.

Радиус-вектор точки, это вектор, отложенный из начала координат к этой точке.

Упорядоченная тройка чисел (x, y, z), являющаяся координатами радауса-вектора точки А, называется координатами точки а в этом базисе.

 

 

Т: Координаты вектора в произвольном базисе равны разности координат точки конци и начала вектора в этом базисе.

Доказать теорему о координатах суммы векторов.

Т: Координаты суммы двух векторов равны сумм координат этих векторов.

Доказывается сложением векторов, представленных в виде линейной комбинации базисных.

Аффинное пространство. Доказать теорему о координатах вектора, умноженного на число.

Аффинным пространство называется мно-во точек и векторов, элементы которого находятся в отношениях, определённых аксиомами откладывания вектора и умножения вектора на число.

Т: Координаты вектора, умноженного на число, равны координатам вектора, умноженным на это число.

Вектор, представляется в виде линейной комбинации базисных векторов, а потом правая и левая часть умножаются на некое число и раскрываются скобки.

Доказать теорему о разложении радиус-вектора точки, делящей отрезок в данном отношении.

Доказывается через сложение векторов по правило треугольника.

Определение прямой. Вывести векторное уравнение прямой в аффинной системе.

Множество всех точек М, для которых векторы АМ и АВ коллинеарны, называется прямой (АВ).