41) Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентность бесконечно малых функций. Привести примеры эквивалентных бесконечно малых функций: ln(1+x)-x при xà0; ex -1+x при xà0; cos x -x2/2 при xà0; (1+x)a -1+ax при xà0.
Бесконечно малые функции h(x) и g(x) при xàa называются величинами одного порядка малости, если существует lim xàa h(x)/ g(x)=A…0.
Бесконечно малая функция h(x) называется величиной более высокого порядка малости по сравнению с бесконечно малой g(x) при xàa, если lim xàa h(x)/ g(x)=0.
Бесконечно малая функция h(x) называется величиной более низкого порядка малости по сравнению с бесконечно малой g(x) при xàa, если lim xàa h(x)/ g(x)= 4.
Бесконечно малые функции называются несравнимыми, если предел их отношения не существует.
Бесконечно малые функции называются эквивалентными при xàa, если предел их отношения равен 1.
Непрерывность функции в точке.
Дать определение непрерывности функции в точке. Доказать арифметические теоремы о непрерывных функциях. Непрерывность суперпозиции непрерывных функций.
Функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х0, если limxà х0 =f(x0)
Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х0, то так же непрерывны в этой точке функции f(x)+ g(x), f(x)/ g(x) при g(x)…0, f(x) . g(x).
Если f(x) и g(x) – непрерывные функции, то функция f(g(x)), так же непрерывна.
Дать второе определение непрерывности функции в точке. Доказать эквивалентность этих определений.
Функция f(x) непрерывна в точке х0, если приращение функции в этой точке является бесконечно малой величиной при приращении аргумента, стремящемся к нулю.
Дать классификацию точек разрыва (первого и второго рода).
Тип разрыва, когда в точке х0 имеются (конечные) правый и левый переделы функции, называют разрывом первого рода. В противном случае говорят, что х0 – разрыв второго рода.
Производная функции в точке.
45) Производная, её геометрический смысл. Вывести формулы касательной и нормали к графику функции в точке.
Производной данной функции в данной точке называют предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремиться к нулю.
Геометрический смысл производной в точке, это тангенс угла наклона касательной к этой точке.
Левая и правая производные функции в точке.
Бесконечная производная в точке.
Доказать арифметические теоремы о производных.
Вывести формулу для производной степенной и показательной функций. Вывести формулу для производной логарифмической функции. Вывести производные синуса, косинуса, тангенса, и котангенса. Вывести формулу для производной функции арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс.
