Связь между корнем многочлена и делимостью его на линейные множители. Схема Горнера

Если число α является корнем многочлена P_n(x), то этот многочлен без остатка делится на линейный двучлен (x- α)

Понятие простого и кратного корней многочлена. Доказать теорему о целом и рациональном корнях многочлена с целыми коэффициентами.

Если число α является k-кратным корнем многочлена P_n(x), то α будет корнем кратности k-1 первой производной этого многочлена. Если α – простой корень многочлена P_n(x), то число α не является корнем многочлена P_n’(x).

Сформулировать основную теорему алгебры. Следствие о разложении многочлена n-ой степени в произведение n линейных сомножителей.

Основная теорема алгебры: всякий многочлен степени не меньше первой имеет не меньше 1-го корня.

Всякий многочлен P_n(x) не нулевой степени, с любыми числовыми коэффициентами может быть представлен в виде произведения n линейных множителей, причём единственным образом с точностью до порядка расположения.

Следствие о количестве корней многочлена n-ой степени.

Всякий многочлен P_n(x) не нулевой степени, с любыми коэффициентами имеет n-корней, в общем случае комплексных, при этом каждый корень подсчитывается столько раз, какова его кратность.

75) Многочлен с действительными коэффициентами. Леммы о комплексно-сопряжённых корнях и о делимости многочлена на квадратный трёхчлен с действительными коэффициентами. Следствие основной теоремы о разложении многочлена в произведение непереводимых сомножителей.

Многочлен с действительными коэффициентами – это многочлен, у которого все коэффициенты являются действительными числами.

Лемма 1: Если комплексное число α является корнем многочлена P_n(x), то и сопряженное ей число α₁ так же является корнем этого многочлена.

 

Лемма 2: Если α и α₁ комплексно-сопряженные корни многочлена P_n(x), то это многочлен делится нацело, то этот многочлен делится нацело на неприводимый квадратный трёхчлен с действительными коэффициентами.

Всякий многочлен P_n(x) не нулевой степени, с любыми числовыми коэффициентами может быть представлен в виде произведения n линейных множителей, причём единственным образом с точностью до порядка расположения.

Дробно-рациональная функция.

Правильная и простейшие рациональные дроби. Теорема о представлении рациональной дроби в виде суммы многочлена и правильной дроби. Алгоритм разложения правильной дроби в сумму простейших дробей.

Рациональная дробь, у которой степень числителя меньше степени знаменателя называется правильной.

Рациональная дробь называется простейшей, если её знаменатель является неприводимым многочленом, а степень числителя равна 0 или 1 (0, если в знаменателе стоит бином, и 1, если – квадратный трёхчлен).

Всякая рациональная дробь представима, притом единственным образом, в виде суммы многочлена и правильной дроби.

 

 

Разложение правильной дроби в сумму простейших: