Примеры составления и решения чистых игровых задач

Задача1. Предприятие А выпускает комплектующие изделия для предприятия В. Требуется определить оптимальную частоту контроля предприятием В за качеством комплектующих изделий, выпускаемых А, чтобы затраты на контроль и затраты, зависящие от качества выпускаемой продукции, были минимальны. При уменьшении частоты контроля увеличивается поток брака со стороны А и прибыли В уменьшается. При увеличении частоты контроля качество продукции предприятия В увеличивается, но при этом стоимость контроля увеличивается.

Пусть потери и прибыль предприятия В состоят из:

- 50 тыс. руб. потерь от поставки предприятием А бракованных комплектующих;

- 5 тыс. руб. затраты на контроль комплектующих;

- 10 тыс. руб. премия предприятию А за поставку годных комплектующих;

- 140 тыс. руб. штрафа, налагаемого на предприятие А в случае обнаружения брака.

Используя теорию игр, определить оптимальную стратегию предприятия В.

Составим игровую задачу.

Предположим, что со стороны А могут быть следующие стратегии i:

х₁- предприятие поставляет полностью брак;

х₂- предприятие поставляет годные комплектующие;

х₃- предприятие поставляет 50% брака.

Со стороны В возможны следующие стратегии j:

y₁- предприятие полностью контролирует комплектующие;

y₂- контролирует 75%;

y₃- контролирует 50%;

y₄- контролирует 25%.

Для составления матрицы игры введем следующие понятия:

оценка степени контроля Р_y=(1; 0,75; 0,5; 0,25);

оценка степени брака Р_х=(1; 0; 0,5);

оценка степени обнаружения брака Р_б= Р_х ∙ Р_y;

оценка степени пропуска брака Р=(1- Р_y) Р_х .

Потери сторон рассчитаем по формуле:

L_A=L_B=140P_б -50P-5P_y-10(1-P_б).

В этом случае таблица игры примет вид:

 

А В	х1	х2	х3
y1		-15
y2		-14
y3		-12	-12
y4	-10	-10	-10

 

Чтобы исключить отрицательные потери, каждое из значений увеличиваем на 15. В результате получим матрицу.

 

А В	х1	х2	х3	max(a) min
y1
y2
y3
y4				5*
max() min		5*

 

Определим цены игры a и b.

, , следовательно, со стороны А оптимальная стратегия х₂ (0% брака), со стороны В- y₄ (25% контроль). При этом ., т.е. выигрыш стратегии А и проигрыш стратегии В равняется 10 тыс. рублей.

 

Задача 2. АСУ может быть оснащена ЭВМ трёх типов. На обработку в АСУ будут приниматься задачи трёх видов. Решение задачи требует определенного времени, зависящего от характеристик ЭВМ, сложности и объема задач. Расходы на содержание АСУ оплачивает поставщик задач (заказчик).

Сторона А (организатор АСУ), располагает 3-мя стратегиями по выбору машин i (x₁, x₂, x₃) и стремится увеличить приток средств от заказчика за счет ускорения обработки заказов и даже применяет дорогостоящие ЭВМ там, где можно было бы обойтись простыми машинами.

Сторона В (заказчик) старается разумно расходовать свои средства, отказываясь от чрезмерных требований по срокам, корректно формулирует задачи, выбирает те из них, которые представляют первоочередной интерес. Исходя из этого, заказчик обращается к АСУ для решения трёх видов задач (y₁, y₂, y₃,).

В соответствии с калькуляцией стоимость выполнения работ q_ij в рублях, следующая.На первой ЭВМ первой задачи q₁₁ = 250, второй задачи q₁₂ = 300, и третьей задачи q ₁₃ = 350.

Стоимость работы на второй ЭВМ при выполнении соответствующих задач q₂₁ =300, q₂₂ =400, q₂₃ =600.

Стоимость работы на третьей ЭВМ: q₃₁ =400, q₃₂ =500, q₃₃ =600. Рассматривая задачу как игровую, необходимо определить какой из трёх машин необходимо комплектовать АСУ.