Правило Крамера. Метод Гаусса

 

Пусть задана система n линейных уравнений с n неизвестными вида

 

(4.1)

 

или, в матричной форме

 

А Х = В,

где

 

Рассмотрим некоторые методы решения системы (4.1).

Формулы Крамера. Если система (4.1) невырождена, то она имеет единственное решение, определяемое формулами Крамера:

 

 

где – определитель, получаемый из определителя заменой его i- го столбца на столбец В свободных членов.

Матричный метод.

Решение невырожденной системы (4.1) можно найти по формуле .

Метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса).

С помощью элементарных преобразований над строками система m линейных уравнений с n неизвестными может быть приведена к виду

, (4.2)

 

где

Система (4.2) эквивалентна исходной системе. Если хотя бы одно из чисел отлично от нуля, то система (4.2), а следовательно, и исходная система несовместны. Если же то система совместна и из уравнений (4.2) выражают последовательно неизвестные через .

 

Пример 4.2. Методом Гаусса решить систему

 

 

Решение. Расширенная матрица системы имеет вид

 

 

Производя элементарные преобразования над строками расширенной матрицы, получаем

 

где цифрами обозначены следующие операции:

– первую и вторую строки поменяли местами; – ко второй строке прибавили первую, умноженную на (–2); к третьей прибавили первую, умноженную на (–3); – к третьей строке прибавили вторую, умноженную на (–1).

Этой матрице соответствует система

 

 

Отсюда последовательно находим

 

 

Ответ:

 

Пример 4.3. Решить систему уравнений

 

 

используя формулы Крамера.

Решение. Так как определитель данной системы

 

 

то матрица А невырождена и система имеет единственное решение.

Находим определители

 

По формулам Крамера находим решение системы:

 

 

4.3. Скалярное произведение векторов в R ³

 

Скалярным произведением векторов и называется число, обозначаемое или и равное где – угол между и .

Свойства скалярного произведения:

1. 2.

3. 4.

Свойство 4 выражает условие ортогональности векторов.

Если векторы и представлены своими координатами в ортонормированном базисе , то скалярное про-изведение равно

Из этой формулы и определения скалярного произведения следует:

 

 

Учитывая, что где – проекция вектора на вектор , а скалярное произведение векторов можно записать в виде

 

 

Пример 4.4. Даны векторы Найти .

 

Решение.

 

Поскольку

 

а векторы заданы координатами в ортонормированном базисе, то

 

 

Поэтому

 

 

Механический смысл скалярного произведения: работа А, про-изводимая силой точка приложения которой перемещается из точки в точку вычисляется по формуле