Классическая теория обнаружения сигналов в качестве критерия оптимальности использует старинное изобретение английского священника и математика Томаса Байеса – критерий минимума среднего риска, изложенный им в "Эссе о решении проблем в теории случайных событий".
Будем считать, что a priori известны:
1. условные совместные плотности распределения шума 
и аддитивной смеси сигнала и шума 
,
2. вероятности 
отсутствия сигнала в наблюдаемой реализации сигнала 
и наличия в ней сигнала 
,
3. платежная матрица 
с элементами 
- расходы на принятие правильные решения и 
- плата за ошибки первого и второго рода.
С учетом выражений для вероятностей принятия верных решений и вероятностей ошибок среднее значение потерь, то есть средний риск, связанный с принятием решения, составляет:
.
Подставляя сюда выражения для вероятностей ошибок первого и второго рода, а также выражения для оперативной характеристики и функции мощности, после некоторых преобразований получаем следующую зависимость:
Отсюда видно, что критическую область 
нужно выбирать таким образом, чтобы подынтегральное выражение было хотя бы неотрицательным:
Функция 
после подстановки в неё вместо вектора 
наблюденных данных 
называется отношением правдоподобия 
. Отношение правдоподобия преобразует комплекс экспериментальных данных 
в некоторое число, на основании которого и принимается решение по поводу обнаружения или отсутствия сигнала на фоне помех.
Оптимальная по критерию минимума среднего риска решающая функция имеет, поэтому, следующий вид:
где 
пороговая константа.
Решение о присутствии сигнала в наблюдаемой выборке принимается, если отношение правдоподобия для этой выборки оказывается не меньшим, чем пороговая константа. Пороговая константа разбивает n-мерное пространство всех возможных выборок 
на две непересекающихся области 
и 
, 
, такие, что в критической области 
выполняется условие 
, а в допустимой области 
имеет место 
.
В задаче обнаружения сигнала синусоидальной формы с вектором параметров сигнала 
на фоне независимой от сигнала нормально распределенной помехи типа белого шума с одноместным вектором параметров 
при полученной путем дискретизации наблюдаемой реализации сигнала z(t) выборке отношение правдоподобия принимает следующий вид:
Часто, особенно при экспоненциальных функциях распределения, пользуются логарифмической функцией правдоподобия 
, которая получается логарифмированием отношения правдоподобия. В рассматриваемом случае логарифмическая функция правдоподобия имеет вид, особенно удобный для практических расчетов:
с пороговой константой, равной 
.
Недостаточность априорной информации в реальных ситуациях и возможность появления аномально больших искажений при наблюдении за сигналом требует построения более сложных алгоритмов обнаружения сигналов. Поиск таких алгоритмов и является задачей теории обнаружения и различения сигнала.
