І РІВЕНЬ
2.1.1 Якої маси баласт 
потрібно скинути з аеростата, що рівномірно опускається, щоб він почав рівномірно підійматися з тією ж швидкістю. Маса аеростата з баластом 
, підіймальна сила аеростата 
. Вважати силу опору 
повітря однаковою при підйомі і спуску аеростата.
2.1.2. До нитки підвішений вантаж масою 
.Знайти силу натягу нитки 
, якщо нитку з вантажем:
а) підіймати з прискоренням 
;
б) опускати з тим самим прискоренням .
2.1.3. Автомобіль масою 
, рухаючись рівносповільнено, зупинився через 
, пройшовши шлях 
. Знайти початкову швидкість 
автомобіля і силу гальмування 
.
2.1.4. Яку силу потрібно прикласти до вагона, що стоїть на рейках, щоб вагон почав рухатись рівноприскорено і за час 
пройшов шлях 
м? Маса вагона 
. Під час руху на вагон діє сила тертя 
, що рівна 
.
2.1.5. Під дією сили 
тіло рухається прямолінійно так, що залежність пройденого тілом шляху 
від часу 
задається рівнянням 
, де 
. Знайти масу 
тіла.
2.1.6. До нитки підвішений вантаж масою 
кг. Знайти силу натягу нитки , якщо нитку з вантажем:
а) піднімати з прискоренням 
м/с2;
б) опускати з тим самим прискоренням м/с2.
2.1.7. Кулька масою 
, падаючи з деякої висоти, вдаряється об похилу площину і пружно відскакує від неї без втрати швидкості. Кут нахилу площини до горизонту 
. За час удару площина отримує імпульс сили 
. Скільки часу 
пройде від моменту удару кульки об площину до моменту, коли вона буде знаходитись у найвищий точці траєкторії.
2.1.8. Який кут 
з горизонтом складає поверхня бензину в баку автомобіля, що рухається горизонтально з прискоренням 
.
2.1.9. Вагон гальмує і його швидкість за час 
рівномірно зменшується від 
до 
. Яким повинен бути граничний коефіцієнт тертя 
між валізою і полицею, щоб валіза при гальмуванні почала ковзати по полиці?
2.1.10. Канат лежить на столі так, що частина його звішується зі столу, і починає ковзати тоді, коли довжина тієї його частини, що звішується, складає 
його довжини. Знайти коефіцієнт тертя 
канату об стіл.
2.1.11. На автомобіль масою т під час руху діє сила тертя , рівна 
. Знайти силу тяги , що розвиває двигун автомобіля, якщо автомобіль рухається з постійною швидкістю:
а) вгору з нахилом 
на кожні 
шляху;
б) вниз з таким самим нахилом.
2.1.12. Тіло лежить на похилій площині, що складає з горизонтом кут 
. При якому граничному коефіцієнті тертя 
тіло почне ковзати по похилій площині? З яким прискоренням 
буде ковзати тіло по площині, якщо коефіцієнт тертя 
? Скільки часу необхідно для проходження при цих умовах шляху 
м? Яку швидкість 
матиме тіло в кінці шляху?
2.1.13. Невагомий блок закріплений на кінці столу. Вантажі 1 і 2 однакової маси 
з’єднані ниткою, що перекинута через блок. Коефіцієнт тертя вантажу 2 об стіл 
. Знайти прискорення , з яким рухається вантажі і силу натягу нитки . Тертям в блоці знехтувати.
2.1.14. Невагомий блок закріплено на вершині двох похилих площин, що складають з горизонтом кути і 
. Вантажі 1 і 2 однакової маси з’єднані ниткою, перекинутою через блок. Знайти прискорення , з яким рухаються вантажі і силу натягу нитки . Тертя вантажів об похилі площини 
. Тертям у блоці знехтувати.
2.1.15 Трамвайний вагон масою т рухається по заокругленню радіусом 
. Знайти силу бокового тиску коліс на рейки при швидкості руху 
.
2.1.16. Відерце з водою, прив’язане до мотузки довжиною 
, рівномірно обертається у вертикальній площині. Знайти найменшу швидкість обертання відерця, при якій у верхній точці вода з нього не виливається. Яка сила натягу мотузки при цій швидкості у верхній і нижній точках кола. Маса відерця з водою 
.
2.1.17. Вантаж, прив’язаний до нитки довжиною 
, описує в горизонтальній площині коло радіуса 
. З якою частотою 
обертається вантаж?
2.1.18. Диск обертається навколо вертикальної осі з частотою 
. На відстані 
від осі обертання на диску лежить тіло. Яким повинен бути коефіцієнт тертя між диском і тілом, щоб тіло не зісковзувало з диска?
2.1.19. Вантаж масою 
підвішений на сталевій дротині, що витримує силу натягу 
.На який найбільший кут можна відхилити дротину з вантажем, щоб вона не розірвалася при проходженні вантажем положення рівноваги?
2.1.20. Камінь масою 
прив’язаний до мотузки довжиною 
, рівномірно обертається у вертикальній площині. Сила натягу мотузки в нижній точці кола 
Н. На яку висоту 
підніметься камінь, якщо мотузка обривається в той момент, коли швидкість напрямлена вертикально вгору?
|
| Рис. 2.10 |
ІІ РІВЕНЬ
2.2.1. Через блок дуже малої маси, обертається з малим тертям,перекинута нитка, на кінцях якої прив’язані тягарці 
і 
, причому в 
раз (
) більше 
. Вантаж піднімають на стільки, щоб вантаж торкнувся поля (рис. 2.10), і опускають. На яку висоту 
піднімається вантаж після того як вантаж вдариться бо підлогу, якщо висота вантажу над підлогою було 
?
|
| Рис. 2.11 |
2.2.2. Дошка А рухається по горизонтальному столу під дією сили натягу, прив’язаної до неї нитки. Нитка перекинута через прикріплений до столу блок і прив’язаний до іншої падаючої дошки в. (рис. 2.11):
а) визначте силу натягу нитки , якщо маса дошка А рівна 
, маса дошка В рівна 
, коефіцієнт тертя 
. Маса блока дуже мала.
б) як зміниться відповідь, якщо дошки поміняти місцями?
|
| Рис. 2.12 |
в) визначте силу, силу яка діє на вісь блока у випадку а) і б).
2.2.3. Визначте прискорення, з яким рухається вантаж масою в установці, зображеній на рис. 2.12. Тертям, маса блока і жорсткість мотузки знехтувати. Розгляньте наступні часткові випадки:
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
.
2.2.4. Похилі площини 1, 2, 3 мають загальну основу (рис. 2.13)
|
| Рис. 2.13 |
а) який нахил площини до горизонту, якщо час сковзання тла по цій площині менше, ніж по іншим площинам? (Розглянемо випадки коли тертя дуже мале і коли коефіцієнт тертя ).
б) який коефіцієнт тертя, якщо час ковзання при киї нахилу 
і час ковзання при куті нахилу рівні між собою?
|
| Рис. 2.14 |
2.2.5. Крижана гора складає з горизонтом кут 
. По ній пускають знизу вверх камінь, який, піднявшись на деяку висоту, потім сповзає по тому ж шляху вниз. Чому рівний коефіцієнт тертя, якщо час спуску каменя в раз () більше часу підйому?
|
| Рис. 2.15 |
2.2.6. Визначте положення центра мас подвійного однорідного циліндра, зображеного на рисунку 2.14, де 
; 
; 
; 
.
б) Визначте положення центра мас пластинки, яка має форму осьового перетину тіла, зображеного на рисунку.
2.2.7. Визначте положення центра мас фігури у вигляді точкового круглого диску радіусом 
, в якому вирізаний круглий отвір радіусом 
,причому центр отвору лежить на відстані 
від центру диска (рис. 2.15).
|
| Рис. 2.16 |
|
| Рис. 2.17 |
2.2.8. На рисунку 2.16 зображено пристрій для пояснення залежності доцентрової сили від маси і відстані від осі обертання. Кулі А і В виготовлені з одного і того же матеріалу і мають діаметри 3 і 2 см. Мотузка яка з’єднує кулі має довжину 
. Об’ємом каналу, просвердленого всередині куль, можна знехтувати. Коефіцієнт тертя куль об стержень 
. Кутова швидкість обертання пристрою 
.
Якщо відстань кулі А від осі знаходиться в деякому інтервалі 
, то кулі утримуються на однаковій відстані від осі. Знайдіть 
і 
.
2.2.9. Невелике тіло зісковзує з вершини сфери радіуса вниз (рис. 2.17). На якій висоті від вершини тіло відірветься від поверхні сфери і полетить вниз? Тертя дуже мале.
2.2.10. Невелике тіло зісковзує вниз по похилому жолобу, який переходить в мертву петлю радіусом (рис. 18).
|
| Рис. 2.18 |
а) на якій висоті випаде тіло, якщо початкова його висота рівна ? Тертя дуже мале.
б) якою повинна бути висота , щоб тіло зробило повну петлю, не випадаючи?
|
| Рис. 2.19 |
2.2.11. Круглий сталевий конус з висотою 
і діаметром основи 
котиться без кочення по горизонтальній площині, здійснюючи один оберт навколо вертикальної осі 
протягом 
(рис. 2.19). Визначте силу тертя, між твірною конуса і площиною, по якій він котиться.
|
| Рис. 2.20 |
2.2.12. Якщо зв’язати кінці металічного ланцюга між собою, прив’язати ланцюг до мотузки і обертають мотузку навколо вертикальної осі, то ланцюг приймає форму, близьку до кола, розташовану в площині, перпендикулярної осі обертання (рис. 2.20).
а) чи є форма ланцюга плоскою кривою?
б) приймаючи форму ланцюга за горизонтальне коло, визначте силу 
натягу вздовж ланцюга, якщо його маса 
, довжина 
і частота обертання 
.
2.2.13. Вантаж, підвішений на нитці, відводять в сторону так, що нитка приймає горизонтальне положення, і відпускають. При русі вантажу вертикальна складова його швидкості спочатку зростає, потім зменшується. Який кут з вертикаллю утворює нитка в той момент, коли вертикальна складова швидкості вантажу є найбільшою?
2.2.14. Кулька діаметром 
, котиться по підлозі і зупиняється через час 
, пройшовши відстань 
. Визначте коефіцієнт тертя кочення, рахуючи його постійним.
2.2.15. Брусок масою рівномірно витягують за нитку вгору по похилій площині, що складає кут 
з горизонтом. Коефіцієнт тертя 
. Знайдіть кут 
, який повинна складати нитка з похилою площиною, щоб натяг нитки був найменшим. Чому рівний цей натяг?
2.2.16. На похилій площині знаходиться брусок, до якого прикладена напрямлена вгору вздовж похилої площини сила 
, де 
, 
– сила тяжіння. Коефіцієнт тертя . При якому куті нахилу площини прискорення бруска буде мінімальним і яке це прискорення?
2.2.17. Для системи тіл, рис. 2.21, зв’язаних невагомими і розтяжними нитками, визначити натяг нитки між тілами 
і 
при умові, що початкова швидкість тіл дорівнювала нулю. Маси тіл 
, 
; 
; кут нахилу площини, на якій знаходиться тіло , до лінії горизонту 
, коефіцієнт тертя між тілом і відповідною горизонтальною поверхнею 
; на тіла 
і сила тертя не діє. Тертя в блоках відсутнє.
|
| Рис. 2.21 |
|
| Рис. 2.22 |
2.2.18. Рис. 2.22. Визначити прискорення, з яким рухається брусок, поміщений на горизонтальну поверхню, під дією прикладених до нього сил 
, 
; 
; 
. Коефіцієнт тертя бруска площини ; маса бруска
а) 
;
б) 
;
в) 
.
|
| Рис. 2.23 |
Прискорення вільного падіння 
.
2.2.19. Визначити прискорення, з яким рухаються два однакових циліндра і призма, рис. 2.23. Маса призми 
і кожного циліндра 
, кут між гранями призми 
задані. Вісь симетрії призми – вертикальна. Рух тіл обмежений горизонтальною поверхнею. Тертя відсутнє.
|
| Рис. 2.24 |
2.2.20. Стержень, закріплений таким чином, що він може переміщатися тільки у вертикальному напрямі, нижнім кінцем спирається на гладкий клин, що лежить на горизонтальній площині. Маса стержня - , маса клина – ; кут при основі клина . Тертя відсутнє. З яким прискоренням рухається клин?
ІІІ РІВЕНЬ
2.3.1. На гладкій горизонтальній поверхні знаходяться два бруски з масами і , з’єднані ниткою. До брусків в момент часу 
приклали сили, протилежно напрямлені і які залежать від часу як 
і 
. Знайти, за скільки часу нитка порветься, якщо сила натягу на розрив дорівнює 
.
|
| Рис. 2.25 |
2.3.2. В установці (рис. 2.25)маси тіл дорівнюють 
, і , маси блока і ниток малі, тертя в блоці відсутнє. Знайти прискорення 
, з яким опускається тіло і силу натягу нитки, що з’єднує тіла і , якщо коефіцієнт тертя рівний 
.
2.3.3. На похилу площину, що утворює кут горизонтом, помістили два бруска 1 і 2 (рис. 2.26). Маси брусків рівні 
і 
, коефіцієнти тертя між похилою площиною і цими брусками – відповідно 
і 
, причому 
. Знайти:
а) силу взаємодії між брусками в процесі руху;
б) кута , при якому ковзання не буде;
2.3.4. Невелике тіло пустили вгору по похилій площині, яка складає з горизонтом 
. Знайти коефіцієнт тертя, якщо час підйому тіла виявився в 
рази менший ніж час спуску.
|
| Рис. 2.27 |
2.3.5. В установці (рис. 2.27) відомий кут і коефіцієнт тертя 
між тілом і похилою площиною. Масою блока і нитки можна знехтувати, тертя в блоці немає. Спочатку, обидва тіла нерухомі. Знайти відношення мас 
,при якому тіло :
а) почне опускатися;
б) почне підніматися;
в) буда залишатися в спокої.
2.3.6. На гладкій горизонтальній площині лежить дошка масою і на ній брусок масою . До бруска прикладена горизонтальна сила, яка зростає із часом 
за законом 
, де – стала. Знайти залежність від 
прискорення дошки 
і бруска 
, якщо коефіцієнт тертя між дошкою і бруском рівний . Зобразити приблизні графіки їх залежності.
|
| Рис. 2.28 |
2.3.7.Визначте прискорення циліндра, що ковзає по жолобу, який має вигляд двогранного кута, лінійний кут якого складає 
. Ребро двогранного кута нахилене до горизонту під кутом 
. Площини двогранного кута складають однакові кути з горизонтом. Коефіцієнт тертя між циліндром і поверхнею жолоба 
.
2.3.8. Сталева кулька радіуса 
падає з висоти 
без початкової швидкості на горизонтальну сталеву плиту. Опір повітря пропорційний квадрату швидкості. На яку відстань 
не долетить кулька до початкового положення при першому відбиванні?
2.3.9. Через нерухомий гладкий циліндр з радіусом основи 
перекинуто ланцюжок, довжиною 
. В початковий момент довжина більшого звисаючого кінця 
дорівнює 
, при цьому ланцюжок нерухомий, рис. 2.28. Знайти закон руху кінця ланцюжка 
, якщо його відпустити.
2.3.10. На скільки зміниться дальність польоту невеликого тіла масою , кинутого під кутом до горизонту з початковою швидкістю 
за рахунок опору повітря, якщо опір пропорційний швидкості (коефіцієнт пропорційності рівний 
).
2.3.11. На ідеально гладкій похилій площині з кутом нахилу до горизонту знаходиться дошка масою . Куди і з яким прискоренням повинен бігти по дошці хлопчик масою , щоб дошка залишилася на місці. При якому мінімальному коефіцієнті тертя між дошкою і підошвами черевиків це можливо?
2.3.12. На горизонтальній дошці є виступ висотою 
, в кий упирається циліндр радіусом 
, що лежить на дошці. З яким максимальним прискоренням можна рухати дошку в горизонтальному напрямі, щоб циліндр не перекотився через виступ?
2.3.13. Два вантажі масами 
і з’єднані ниткою довжиною . Нитка пропущена через кільце, закріплене на вертикальному стержні. З якою кутовою швидкістю потрібно обертати стержень, щоб нитка була зігнута під кутом 
.
|
| Рис. 2.29 |
2.3.14. Невелику шайбу поклали на похилу площину, що утворює кут з горизонтом (рис. 2.29), і надали початкову швидкість 
. Знайти залежність швидкості шайби від кута 
, якщо коефіцієнт тертя 
і в початковий момент 
.
|
| Рис. 2.30 |
2.3.15. Муфточка 
може вільно ковзати вздовж гладкого стержня, вигнутого у формі півкільця радіуса 
(рис. 2.30). Система почала обертатися з сталою кутовою швидкістю 
навколо вертикальної осі 
. Знайти кут 
, що відповідає стійкому положенню муфточки.
2.3.16. Невелику кульку масою , підвішену на нитці, відвели в бік так, що нитка утворила прямий кут з вертикаллю, а потім відпустили. Знайти:
а) модуль повного прискорення кульки і силу натягу нитки як функції кута її відхилення від вертикалі;
б) силу натягу нитки в момент, коли вертикальна складова швидкості кульки максимальна;
в) кут відхилення нитки в момент, коли повне прискорення кульки горизонтальне.
2.3.17. Невелике тіло починає ковзати з вершини гладкої сфери радіуса . Знайти кут між вертикаллю і радусом0вектором, що характеризує положення тіла відносно центра сфери в момент відриву від неї, а також швидкість тіла в цей момент.
2.3.18. Автомобіль рухається зі сталим тангенціальним прискоренням 
м/с2 по горизонтальній поверхні, описуючи дугу радіусом 
м. Коефіцієнт тертя між колесами автомобіля і поверхнею 
. Який шлях пройде автомобіль без ковзання, якщо в початковий момент часу його швидкість дорівнює нулю?
|
| Рис. 2.31 |
2.3.19. Невелике тіло ковзає по гладкій горизонтальній поверхні вздовж вертикальної стінки, що має вигляд як на рис. 2.31 (вигляд зверху). Заокруглена частина траєкторії тіла є дугою з кутом 
. Знайти швидкість тіла в точці 2, якщо в точці 1 
м/с і коефіцієнт тертя між тілом і вертикальною стінкою 
.
2.3.20. Через закріплений блок перекинута нитка, до кінців якої прикріплені вантажі масами і . Між ниткою і блоком є тертя таке, що нитка починає ковзати по блоку, коли 
. Знайти:
а) коефіцієнт тертя;
б) прискорення вантажів, якщо 
.
