Методичні вказівки до розв’язування задач

ТЕМА 2

ОСНОВИ ДИНАМІКИ

Основні поняття і співвідношення

Імпульс (кількість руху) матеріальної точки:

; (2.1)

- маса матеріальної точки; - її швидкість.

Другий закон Ньютона (основне рівняння динаміки матеріальної точки)

; (2.2)

Це ж рівняння в проекціях на дотичну і нормаль до траєкторії точки

;

Третій закон Ньютона:

, (2.3)

де – сила, що діє на першу матеріальну точку з боку другої; – сила, що діє на другу матеріальну точку з боку першої.

Сила тертя кочення

, (2.4)

де – коефіцієнт тертя кочення; – радіус тіла, що котиться; – сила нормального тиску.

Сила тертя спокою максимальна

, (2.5)

де – коефіцієнт тертя спокою.

Сила тертя ковзання

, (2.6)

де – коефіцієнт тертя ковзання.

Закон збереження імпульсу для замкнутої системи

, (2.7)

де – число матеріальних точок або тіл, що входять в систему; – маса і–тої матеріальної точки (тіла); – швидкість –тої точки тіла.

Радіус – вектор центра мас системи матеріальних точок:

, (2.8)

де та – відповідно маса і радіус–вектор і–тої матеріальної точки; – число матеріальних точок в системі; – маса системи.

Координати центра мас системи матеріальних точок:

; ; , (2.9)

де – маса –тої матеріальної точки і і – координати точки.

Закон руху центра мас

(2.10)

Рівняння руху тіла змінної маси на прикладі руху ракети (рівняння Мещерського)

або (2.11)

де і – відповідно маса і швидкість ракети в момент часу ; – реактивна сила. Якщо (швидкість витікання газу) відносно ракети протилежна за напрямком, то ракета прискорюється, а якщо співпадає з , то ракета гальмується.

Формула Ціолковського для визначення швидкості ракети

(2.12)

де – швидкість витікання газів; – початкова маса ракети; – кінцева маса ракети.

 

Методичні вказівки до розв’язування задач

Важливо пам’ятати, що другий закон Ньютона, що виражається виразом , справедливий тільки в інерціальних системах відліку. В більшості задач, в яких розглядають рух тіл відносно поверхні Землі, систему відліку, пов’язану із Землею, можна вважати практично інерціальною. Тоді слід вважати інерціальною і будь-яку іншу систему відліку, яка рухається поступально і без прискорення відносно Землі.

Сила тяжіння, згідно її означення, дорівнює , де - маса тіла, - прискорення вільного падіння в системі відліку, пов’язаній із Землею. Внаслідок добового обертання Землі сила тяжіння трохи відрізняється від сили, з якою тіло притягається до Землі. Однак при розв’язуванні задач цією різницею зазвичай нехтують, вважаючи систему відліку, пов’язану із Землею, інерціальною.

В ряді задач динаміки можна знехтувати силами тертя, що виникають при русі тіл, і вважати тоді, що тіла знаходяться тільки під дією сили тяжіння і пружних сил реакції в’язей (тиску опор, натягу ниток тощо). В даному розділі обмежимось тільки тими випадками, коли розміри тіл є несуттєвими для розв’язування задачі, тобто будемо розглядати тіла як матеріальні точки.

Для розв’язку задач динаміки складають рівняння руху матеріальної точки, що виражає другий закон Ньютона . При цьому рекомендується наступний порядок дій:

а) виконати рисунок і на ньому зобразити всі сили, що діють на дане тіло.

Вираз «на тіло діє сила» завжди означає, що дане тіло взаємодіє з іншим тілом, в результаті чого отримує прискорення. Отже, до даного тіла прикладено стільки сил, скільки є інших тіл, з якими воно взаємодіє.

Щоб правильно визначити напрям сил, що діють на тіло, потрібно пам’ятати, що сила тяжіння напрямлена вертикально вниз, сила реакції опори при відсутності тертя – по нормалі до стичних поверхонь в точці їх дотику в бік тіла, сила натягу нитки – вздовж нитки в бік точки підвісу;

б) записати другий закон Ньютона у векторній формі ;

в) Якщо сили діють не вздовж однієї прямої, то вибирають дві взаємно перпендикулярні осі (два напрямки) і , що лежать в площині дії сил. Спроектувавши всі сили, що входять в рівняння на ці осі, записують другий закон Ньютона у вигляді двох скалярних рівнянь:

(1)

У випадку прямолінійного руху одну з осей направляють вздовж прискорення , а іншу - перпендикулярно до вектора . Тоді , і рівняння (1) спрощуються:

(2)

В більш загальному випадку криволінійного руху одну вісь направляють вздовж тангенціального прискорення (тобто по дотичній до кривої), іншу – вздовж нормального прискорення .

Якщо всі сили, що діють на тіло, лежать на одній прямій і, отже, вздовж цієї прямої напрямлений вектор , то, вибравши її за вісь проекцій і направивши в бік вектора , зразу записують другий закон в скалярній формі:

(3)

де - сума проекцій сил, що діють на тіло.

Якщо в задачі розглядають рух системи зв’язаних між собою тіл, то рівняння руху записують для кожного тіла окремо. Крім того, записують рівняння, що виражають так звані кінематичні умови, які пов’язують прискорення окремих тіл системи (наприклад, рівність за модулем прискорень двох вантажів, що висять на нерозтяжній нитці, перекинутій через блок). Таким чином, отримують систему рівнянь, кількість яких дорівнює кількості невідомих.

Якщо тіла зв’язані ниткою, масою якої можна знехтувати, то силу натягу нитки вважають однаковою по всій її довжині. Дійсно, припустивши, що на ділянку нитки довжиною діє з боку сусідніх частин сили , запишемо за другим законом Ньютона

,

де - маса розглядуваної ділянки нитки. Вважаючи, що , отримаємо . Якщо нитка перекинута через блок, то рівність виконується тільки в тому випадку, коли можна знехтувати масами нитки і блока, а також силами тертя, що виникають при обертанні блока.