Приклад 2.1. На кінцях нитки, перекинутої через блок, висять на однаковій висоті дві гирьки масою по 
г кожна. Якщо на одну з гирьок покласти додатковий вантаж, вся система прийде в рух і через 
с відстань між гирьками стане рівна 
м. Визначте прискорення тіл, масу 
додаткового вантажу, силу натягу нитки 
, силу тиску 
додаткового вантажу на гирьку під час руху і силу тиску 
на вісь блока. Нитку можна вважати невагомою і нерозтяжною, масою блока знехтувати, тертя в блоці не враховувати.
Розв’язок: В задачі потрібно визначити всі внутрішні сили, що діють між окремими тілами системи. Систему слід уявно розділити на частини в тих місцях, де потрібно знайти ці сили, замінити дію в’язів силами і розглянути рух кожного тіла зокрема. В результаті задача зведеться до задачі динаміки матеріальної точки.
|
| Рис. 2.2 |
Нехтуючи масою нитки, порівняно з масами вантажів, можна прийняти їх рух за рівноприскорений. Якщо не враховувати розтяг нитки, можна вважати, що в кожний момент часу вантажі на її кінцях мають однакові за модулем прискорення. Умова про відсутність тертя у блоці дозволяє вважати, що сили натягу нитки в будь-якому її перерізі однакові.
Виконуємо схематичний рисунок (рис.2.2). Зображаємо кожне тіло окремо і розкладаємо прикладені до нього сили. На ліву гирьку з боку Землі діє сила тяжіння, рівна 
, з боку нитки – сила натягу нитки 
. За умовою задачі під дією прикладених сил ця гирька піднімається вгору з прискоренням 
, тому 
. Проектуючи сили і прискорення на вісь, що має однаковий напрям з прискоренням, складаємо рівняння другого закону Ньютона в проекціях:
(1)
На додатковий вантаж діє з боку Землі сила тяжіння, що дорівнює 
, і з боку нижньої гирьки нормальна реакція опори . Під дією прикладених сил додатковий вантаж рухається вниз з прискоренням , тому 
. Проектуючи сили і прискорення на вісь, напрямлену так само, як прискорення додаткового вантажу, складаємо рівняння другого закону Ньютона в проекціях:
(2)
(Зверніть увагу: додатній напрям осі кожного з розглядуваних тіл системи різний. Його зручно вибирати в напрямку вектора прискорення тіл).
На праву гирьку діють: сила тяжіння, рівна , сила натягу нитки і сила нормального тиску додаткового вантажу. (Тут часто допускають помилку, вважаючи, що зверху на гирьку діє не сила нормального тиску , а сила тяжіння додаткового вантажу, рівна ). Під дією прикладених сил права гирька опускається вниз з прискоренням , тому 
.
Проектуючи сили і прискорення на вісь, що напрямлена так само як і прискорення цієї гирьки, складаємо рівняння другого закону Ньютона в проекціях:
. (3)
На блок діють сили натягу нитки (вниз) і нормальна реакція опори з боку осі (вгору) Під дією цих сил блок знаходиться в рівновазі, його прискорення рівне нулю, отже,
(4)
Накінець, використовуючи задані характеристики руху, складаємо кінематичне рівняння для однієї з гирьок, враховуючи, що за вказаний час кожна з них проходить відстань 
:
(5)
Система рівнянь (1) – (5) містить п’ять невідомих: 
, які нам потрібно знайти.
Розв’язуючи рівняння (1) – (5) відносно цих величин і підставляючи числові значення, одержимо:
м/с2;
кг;
Н;
Н;
Н.
Приклад 2.2. На столі лежить кубик масою 
. До кубика прикріплений ідеально гладкий ланцюжок, що звішується зі столу. До вільного кінця ланцюжка підвішений вантаж масою 
. Залишена сама на себе, система починає прискорено рухатись. Визначте натяг в середині ланцюжка в той момент, коли зі столу звисає 2/3 ланцюжка. Коефіцієнт тертя між кубиком і поверхнею стола дорівнює 
, маса ланцюжка 
.
Розв’язок: За умовою задачі потрібно визначити внутрішню силу, що діє під час руху між половинками ланцюжка, тому систему потрібно «розрізати» в середині ланцюжка і розглянути рух кожної з отриманих частин системи окремо.
|
| Рис. 2.3 |
Виконуємо схематичний рисунок (рис. 2.3 а), вказуємо на ньому вектор прискорення в той момент, коли зі столу звішується 2/3 ланцюжка. Рух системи буде нерівномірно прискореним, що зростає з часом, оскільки за рахунок переміщення ланцюжка сила тяжіння в напрямку руху зростає.
Малюємо обидві частини окремо і розставляємо прикладені до них зовнішні сили (Рис. 2.3 б). На кубик і верхню половину ланцюжка діють сила тяжіння кубика, що рівна 
, сила тяжіння горизонтальної частини ланцюжка, що дорівнює 
(тут 
), сила тяжіння частини ланцюжка, що звисає, дорівнює 
, сила тертя 
, реакції стола і 
, сила натягу (з боку нижньої половини ланцюжка). Під дією цих сил кубик і половина ланцюжка мають в даний момент часу прискорення , що напрямлене в бік руху. Згідно другого закону динаміки для цієї частини системи будемо мати:
Якщо заданий коефіцієнт тертя (або його потрібно знайти), то силу тертя потрібно представити в розгорнутому вигляді: 
(оскільки в даному випадку 
) – і переписати основне рівняння більш детально:
(1)
До вантажу і другої половини ланцюжка прикладені сили тяжіння, рівні відповідно 
і 
, і сила натягу , що діє з боку верхньої половини ланцюжка. За умовою задачі ця частина розглядуваної системи опускається вниз з прискоренням , тому, проектуючи сили і прискорення на вісь, напрямлену так само як і прискорення, рівняння другого закону Ньютона в проекціях запишемо так:
(2)
Система рівнянь (1)-(2) містить дві невідомих величини 
і 
. Розв’язуючи їх відносно шуканого невідомого – сили натягу, що діє в середині ланцюжка, отримуємо:
Приклад 2.3. У вагоні, що рухається горизонтально зі сталим прискоренням 
м/с2, висить на дротині вантаж масою 
кг. Визначити силу натягу дротини і кут її відхилення від вертикалі, якщо вантаж нерухомий відносно вагона.
|
| Рис. 2.4 |
Розв’язок: На вантаж діють сила тяжіння і сила натягу дротини (рис. 2.4). Оскільки вантаж нерухомий відносно вагона, його прискорення дорівнює прискоренню вагона. При цьому нитка повинна бути відхилена від вертикалі назад, оскільки тільки в цьому випадку рівнодійна сил і буде напрямлена вперед, надаючи вантажу прискорення . Другий закон Ньютона у векторній формі матиме вигляд:
Проектуючи вектори , і 
на осі 
та 
, одержимо відповідно два скалярних рівняння:
Розв’язок системи рівнянь і підстановка числових значень дають:
, 
,
Приклад 2.4. Вантаж масою 
кг обертається на канаті довжиною 
м в горизонтальній площині, здійснюючи 
об/хв. Який кут 
з вертикаллю утворює канат і яка сила його натягу?
|
| Рис. 2.5 |
Розв’язок: На вантаж діють сила тяжіння і сила натягу каната. Згідно другого закону Ньютона
(1)
Оскільки рух по колу відбувається в даному випадку зі сталою за модулем швидкістю, то повне прискорення тіла є нормальне прискорення 
, напрямлене до центра кола радіуса 
:
Виберемо осі і так, щоб одна з них була напрямлена в бік прискорення. Проектуючи вектори, що входять в рівняння (1) на ці осі, отримаємо:
(2)
(3)
З рисунка видно, що 
. Розв’язавши рівняння (2), (3) з урахуванням останнього рівняння, маємо:
; 
.
Підставивши числові значення, маємо:
кн., 
, 
.
Приклад 2.5. У вагоні закріплено висок (кулька масою на нитці). Який напрям прийме висок, коли вагон буде скочуватися без тертя з похилої площини, що утворює з горизонтом кут ? Вважати, що висок нерухомий відносно вагона.
|
| Рис. 2.6 |
Розв’язок: Припустимо, що висок складає з нормаллю до похилої площини шуканий кут 
. На кульку діють сила тяжіння і сила натягу нитки. За другим законом Ньютона
(1)
де 
- прискорення кульки, рівне прискоренню вагона. Оскільки вагону надає прискорення складова сили тяжіння, напрямлена вздовж похилої площини і рівна 
, де 
- маса вагона, то, за другим законом Ньютона, прискорення вагона
, (2)
Виберемо вісь проекцій 
, направивши її вздовж прискорення . Тоді замість векторного рівняння (1) з урахуванням (2) отримаємо
Звідси
(3)
Оскільки 
(одна сила тяжіння не може надати кульці прискорення 
), то з (3) маємо:
, 
.
Таким чином, при спуску вагона висок розташований по нормалі до похилої площини.
Приклад 2.6. Визначити прискорення 
і 
, з якими рухаються вантажі 
і в установці, зображеній на рис. 2.7, а також силу натягу нитки. Тертям і масою блока знехтувати. Нитку вважати невагомою і нерозтяжною.
|
| Рис. 2.7 |
Розв’язок: На вантаж діють сили тяжіння і сила натягу 
нитки, на вантаж - сила тяжіння і сили натягу 
, 
ниток. При цьому 
. Оскільки всі сили напрямлені по вертикалі, запишемо рівняння, що виражають другий закон Ньютона застосовані до вантажів зразу в скалярному вигляді, вибравши додатним напрям вниз і припустивши, що прискорення вантажу напрямлене вниз і, отже прискорення вантажу 
- вгору:
(1)
(2)
Розглядаючи кінематичну схему установки і враховуючи умову не розтяжності нитки, запишемо співвідношення між модулями переміщень вантажів, що відбуваються за один і той самий час: 
. Очевидно, таке ж співвідношення існує і між модулями прискорень вантажів:
(3)
Розв’язавши рівняння (1), (2), (3), отримаємо:
;
;
.
Звідси випливає:
1) якщо 
, то 
, 
, тобто, прискорення вантажів напрямлені так, як ми і припустили;
2) якщо 
, то 
- вантажі знаходяться в стані спокою або рухаються рівномірно;
3) якщо 
, то 
, 
. В цьому випадку прискорення вантажу напрямлене вгору, прискорення вантажу - вниз.
Зауваження: В усіх трьох випадках напрямки швидкостей вантажів залишаються невизначеними, оскільки вони залежать від напрямку початкових швидкостей і часу руху. Наприклад, при вантаж може рухатися прискорено вниз або сповільнено вгору. В обох випадках вектор напрямлений вниз.
Приклад 2.7. Візок масою 
кг, на якому лежить вантаж масою 
кг, тягнуть з силою 
, напрямленою горизонтально (рис. 2.8). Коефіцієнт тертя між вантажем і візком 
. Нехтуючи тертям між візком і опорою, знайти прискорення візка і вантажу , а також силу тертя між вантажем і візком у двох випадках:
1) 
Н,
|
| Рис. 2.8 |
2) 
Н.
Розв’язок: Розглянемо сили, що діють на обидва тіла. При цьому, оскільки їх прискорення напрямлені по горизонталі, достатньо враховувати тільки ті сили, що діють горизонтально, оскільки інші, напрямлені вертикально – урівноважуються.
На візок діють сила і сила з боку вантажу 
. Остання напрямлена проти швидкості візка відносно вантажу при терті ковзання або проти сили при терті спокою, тобто в будь-якому випадку сила 
напрямлена вліво (рис. 2.8). На вантаж діє сила тертя з боку візка 
, напрямлена згідно третього закону Ньютона, вправо, причому за модулем 
. Спрямуємо вісь проекцій в бік прискорення, тобто по горизонталі вправо, запишемо в скалярному вигляді рівняння руху візка і вантажу:
(1)
(2)
Рівняння (1) і (2) містять три невідомих. Щоб отримати ще одне рівняння, з’ясуємо характер сили тертя між візком і вантажем. Якщо візок висковзує з-під вантажу, то між ними діє сила тертя ковзання, що дорівнює 
. Оскільки в даному випадку сила рівна за модулем силі тяжіння вантажу, то
(3а)
Якщо ж візок і вантаж рухаються як одне ціле, то між ними діє сила тертя спокою 
. Однак в цьому випадку виконується рівність
(3б)
Таким чином в обох можливих випадках отримаємо систему трьох рівнянь.
Отже, необхідно вияснити характер сил тертя, що діють між тілами. Розглянемо детальніше обидва варіанти:
а) візок висковзує з-під вантажу. Між ними діє сила тертя ковзання, яку знайдемо за формулою (3а):
.
б) візок і вантаж рухаються як єдине ціле, утримуючись тертям спокою. Тоді, позначивши 
, запишемо систему рівнянь (1), (2) у вигляді:
.
Розв’язавши цю систему, отримаємо
(4)
(5)
Формула (5) виражає пропорційну залежність між 
і 
. Однак, значення має границю, рівну 
, яка вже знайдена. Тому в дійсності два тіла будуть рухатись як єдине ціле тільки при таких значеннях сили , при яких значення , що визначається з (5), не буде перевищувати її граничного значення. Здійснивши розрахунки, одержимо:
1) якщо 
, то 
Н;
2) якщо 
, то 
Н, що неможливо, оскільки граничне значення 
Н. Отже, в цьому випадку між тілами діятиме тертя ковзання.
Тепер легко дати відповідь на всі питання задачі:
1) . Між тілами діє сила тертя спокою 
Н. З формули (4) знаходимо 
м/с2;
2) . Між тілами діє сила тертя ковзання 
Н. З (1) і (2) знаходимо прискорення тіл: 
м/с2, 
м/с2.
Приклад 2.8. На вершині двох похилих площин, що утворюють з горизонтом кути 
і 
, закріплено блок (рис. 2.9). Вантажі 
кг і 
кг з’єднані ниткою, перекинутою через блок. Визначити прискорення , з яким почнуть рухатись вантажі вздовж похилих площин, і силу натягу нитки. Коефіцієнти тертя вантажів об площини рівні між собою: 
. Блок і нитки вважати невагомими, тертя в осі блока не враховувати. Розглянути випадки:
1) 
;
2) 
.
|
| Рис. 2.9 |
Розв’язок: На кожен з вантажів діють чотири сили: сила тяжіння, сила нормального тиску опори, сила тертя і сила натягу нитки. В цій задачі ми не знаємо напрямків сил тертя і, отже, не можемо зразу приступити до складання рівнянь руху вантажів в скалярній формі. Дійсно, сила тертя напрямлена завжди в бік, протилежний до відносної швидкості рухомого тіла. Але куди рухаються вантажі – невідомо.
Скористаємось тим правилом, що сила тертя, яка виникає при русі тіла, не може змінити напряму його відносної швидкості. З’ясуємо напрям руху вантажів, припустивши, що тертя відсутнє. Оскільки в цьому випадку прискорення вантажів визначається різницею складових сил тяжіння, напрямлених вздовж відповідних площин, то знайдемо ці складові:
Н,
Н
Оскільки 
, то вантаж рухатиметься по похилій площині вгору, вантаж - вниз. А оскільки сили тертя не можуть змінити напрям руху тіл, то і при наявності сил тертя вантажі рухатимуться так само.
Тепер приступимо до складання рівнянь руху вантажів. Вибравши для кожного вантажу осі проекцій і 
так, щоб одна з осей була напрямлена вздовж прискорення (рис. 2.9), запишемо для кожного вантажу і в проекціях на осі відповідно по два скалярних рівняння (враховуючи при цьому, що 
)
(1)
(2)
Крім того, за законом ковзання,
(3)
Систему рівнянь (1) – (3) з невідомими 
перетворимо в систему з двох рівнянь:
(4)
в якій два невідомих: 
і 
. Розв’язавши цю систему, одержимо:
(5)
(6)
Підклавши в формули (5) і (6) числові дані для першого випадку (
), отримаємо:
м/с2, 
Н.
Для другого випадку (
) з формули (5) маємо
м/с2.
Перш ніж виконувати подальші розрахунки, проаналізуємо отриманий результат. Від’ємне значення прискорення показує, що при 
напрямки руху вантажів протилежні тим, що були б при відсутності тертя (при цьому враховуємо, що в обох випадках початкові швидкості вантажів рівні нулю). Але це неможливо, оскільки сила тертя не в стані змінити напрям руху тіла. Таким чином, отримано неправильний результат для прискорення. Отже, система рівнянь (1) – (3) не відповідає дійсності при . Єдиною помилкою, яку ми могли тут допустити, є припущення про те, що вантажі знаходяться в стані руху і між ними і площинами діють сили тертя ковзання (це вказано в рівняннях (3)). Отже, в дійсності при вантажі знаходяться в стані спокою і утримуються силами тертя спокою, для яких співвідношення (3) не виконуються. Отже, 
при .
Тепер замість системи (4) отримаємо систему
В якій невідомі , 
, 
і яка, очевидно, не має єдиного розв’язку для . Задача стала невизначеною: величина тепер залежить від деяких додаткових обставин, що не вказані в умові, а саме від того, яким чином вантажі були поміщені в положення, зображене на рис. 2.9.
