Геометрические и физические приложения. 1) Площадь криволинейной поверхности, уравнение которой z = f(x, y), можно найти в виде: (D – проекция S на плоскость Оху)

1) Площадь криволинейной поверхности, уравнение которой z = f(x, y), можно найти в виде: (D – проекция S на плоскость О ху). 2) Масса поверхности 3) Моменты поверхности:

– статические моменты поверхности относительно координатных плоскостей O xy, O xz, O yz;

– моменты инерции поверхности относительно координатных осей;

– моменты инерции поверхности относительно координатных плоскостей;

– момент инерции поверхности относительно начала координат.

4) Координаты центра масс поверхности: .

§ 2. Поверхностный интеграл второго рода

Пусть в каждой точке некоторой поверхности определен непрерывный вектор . Зададим направление нормали к поверхности (эту сторону поверхности считаем положительной). Проекция вектора в каждой точке поверхности будет являться скаляром. Поэтому функция будет скалярной функцией и от нее можно вычислить поверхностный интеграл первого рода.

Опр. Поверхностным интегралом второго рода от вектора по поверхности называется поверхностный интеграл первого рода от проекции этого вектора на вектор нормали к и обозначается .

Т.к. и , то:

– поверхностный интеграл второго рода общего вида

Зам. 1. Вычисление п оверхностного интеграла второго рода: 1) Если D_XY, D_XZ и D_YZ - проекции поверхности S на координатные плоскости О ху, Oxz и Oyz, то

2) Если , то

Аналогично, для и (сам-но).

Зам. 2. Связь между тройным интегралом по трехмерной области V и поверхностным интегралом 2-го рода по замкнутой поверхности S, ограничивающей тело V, задается формулой Гаусса-Остроградского:

где запись «S⁺» означает, что интеграл, стоящий справа, вычисляется по внешней стороне поверхности S.

Зам 3. Формула Стокса устанавливает связь между поверхностным интегралом 2-го рода по поверхности σ и криволинейным интегралом 2-го рода по ограничивающему ее контуру L с учетом ориентации поверхности:

В теории поля поверхностный интеграл второго рода называется потоком векторного поля через поверхность.

Примеры потоков векторных полей: 1) Поток электрического поля точечного заряда напряженностью через замкнутую поверхность , охватывающую этот заряд, равен . 2) Поток магнитного поля с индукцией через поверхность равен .

Пример 1.

Найти массу поверхности с поверхностной плотностью γ = 2 z ² + 3.

Решение.

На рассматриваемой поверхности

Тогда

Проекцией D этой поверхности на координатную плоскость Оху является полукольцо с границами в виде дуг концентрических окружностей радиусов 3 и 4.

Применяя формулу и переходя к полярным координатам, получим: