Лекция № 1 ДВОЙНОЙ И ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛЫ
Двойной интеграл и его свойства
Пусть функция 
определена в некоторой замкнутой области 
плоскости 
. Разобьем область произвольным образом на 
частей 
с площадями 
. Внутри каждой элементарной области 
выберем произвольную точку 
и найдем значение функции 
в этой точке. Составим сумму:
Эта сумма называется -й интегральной суммой для функции по области .
Диаметром области назовем наибольшее из расстояний между точками границы этой области и обозначим 
.
Опр. Если существует конечный предел последовательности интегральных сумм 
при стремлении к нулю наибольшего из диаметров частичных областей , не зависящий ни от способа разбиения области , ни от выбора точек 
, то он называется двойным интегралом от функции по области и обозначается 
. Таким образом, 
Свойства двойного интеграла
1. 
; 2. 
. 3. Если область разбить на две области 
и 
без общих внутренних точек, то 
.
§ 2. Вычисление двойного интеграла в прямоугольных декартовых координатах
В ДПСК элемент площади 
можно записать в виде произведения 
. Тогда = 
.
Область называется правильной в направлении оси 
(или 
), если любая прямая, проходящая параллельно этой оси, пересекает границу области не более, чем в двух точках. Например, область на рис. является правильной в направлении оси и неправильной в направлении оси (прямая 
пересекает границу области в четырех точках).
Вычисление двойного интеграла сводится к вычислению повторного интеграла.
1) Пусть область является правильной в направлении оси и ограничена линиями: 
, причем 
, 
.
При выборе внешнего интегрирования по переменной x для определения внутренних пределов интегрирования по переменной y по области интегрирования проводим прямую, параллельную оси снизу вверх. Прямая сначала пресекает кривую 
, которую назовем линией входа. При выходе из области интегрирования прямая пересечет кривую 
, которую назовем линией выхода. То есть значение переменной 
в области меняется в пределах 
.Тогда 
= 
. Правая часть формулы называется повторным интегралом. Таким образом, вычисление двойного интеграла свелось к вычислению повторного (двух определенных интегралов) интеграла вида 
. При вычислении «внутреннего интеграла» x считается постоянным.
2) 
Пусть область является правильной в направлении оси и ограничена линиями: 
, причем 
, 
.
|
слева направо. Прямая сначала пресекает кривую 
, которую назовем линией входа. При выходе из области интегрирования прямая пересечет кривую 
, которую назовем линией выхода. То есть значение переменной 
в области меняется в пределах 
.
Тогда = 
. При вычислении «внутреннего интеграла» y считается постоянным.
Следовательно, 
. Переход от левой части равенства к правой и наоборот называется изменением порядка интегрирования. Если область интегрирования является неправильной, то ее можно представить как объединение правильных областей. Тогда двойной интеграл равен сумме двойных интегралов по этим областям.
