1) Длина кривой: 
2) Масса кривой. Если подынтегральная функция γ (x, y, z) определяет плотность каждой точки кривой, то массу кривой определяют по формуле: 
3) Моменты кривой l: 
- статические моменты плоской кривой l относительно осей О х и О у; 
- момент инерции пространственной кривой относительно начала координат; 
- моменты инерции кривой относительно координатных осей.
4) Координаты центра масс кривой вычисляются по формулам: 
.
§ 2. Криволинейный интеграл по координатам (второго рода)
Рассмотрим на плоскости 
ориентированную гладкую дугу 
(т.е. на дуге указано направление и в каждой точке существует касательная). Пусть на определена и непрерывна вектор-функция 
. Разобьем дугу на 
элементарных дуг 
и построим векторы 
, направленные из начала в конец дуги 
. На каждой элементарной дуге выберем произвольную точку 
и составим сумму скалярных произведений 
: 
называемую -ой интегральной суммой.
Определение. Предел последовательности интегральных сумм 
при условии, что 
, называется криволинейным интегралом по координатам (второго рода) и обозначается 
.
Аналогично вводится определение криволинейного интеграла от вектор-функции 
, по пространственной дуге : 
.
Свойства криволинейного интетграла аналогичны свойствам определенного интеграла. В частности, из определения следует, что 
, т.е. при изменении направления пути интегрирования криволинейный интеграл меняет знак.
Вычисление криволинейного интеграла сводится к вычислению соответствующего определенного интеграла следующим образом.
1) Если пространственная дуга задана параметрическими уравнениями 
, 
, то 
2) Если плоская дуга задана уравнением 
, 
, то 
.
Зам. Если ф-ии 
непрерывны вместе со своими частными производными в некоторой замкнутой области 
с границей , то справедлива формула Грина: 
, где замк. контур обходится против часовой стрелки.
Механический смысл криволинейного интеграла
1) Пусть тело под действием переменной силы 
движется по дуге кривой . Тогда работа 
этой силы может быть вычислена по формуле 
.
2) Рассмотрим непрерывное векторное поле 
определенное в каждой точке гладкой замкнутой кривой . Циркуляцией 
векторного поля 
вдоль замкнутой кривой называется криволинейный интеграл второго рода 
В случае, когда векторное поле является силовым полем, циркуляция дает величину работы этого поля вдоль кривой . Если кривая лежит в плоскости , то направление обхода против часовой стрелки считается положительным, а по часовой – отрицательным.
Пример 1.
Найти массу кривой с линейной плотностью 
заданной в полярных координатах уравнением ρ =4 φ, где 
Решение.
Используем формулу (40) с учетом того, что кривая задана в полярных координатах:
Пример 2.
Вычислить работу векторного поля 
вдоль отрезка прямой от точки А (-2;-3;1) до точки В (1;4;2).
Решение.
Найдем канонические и параметрические уравнения прямой АВ:
Пример 3. Вычислить 
, если 1) дуга параболы 
, расположенная между точками 
и 
; 2) отрезок прямой 
.
Решение. 1) Сведем вычисление криволинейного интеграла к определенному, полагая , 
, 
.
Тогда 
2) Запишем уравнение прямой, проходящей через точки и 
:
; 
.
Следовательно,
Пример 4. Вычислить работу силового поля 
при перемещении материальной точки вдоль контура окружности 
, пробегаемой против часовой стрелки.
Решение. Запишем параметрические уравнения окружности: 
(т.к. обход окружности ведется против часовой стрелки). Работу А силы 
найдем по формуле: 
.
Пример 5. Вычислить 
, где – контур треугольника 
с вершинами в точках А (–1, 0), В (0, 2), С (0, 1) (рис.).
Решение. Поскольку контур является замкнутым, применим формулу Грина. В нашем случае
, 
, 
Следовательно, 
= 
.
Пример 6. Найти функцию 
по ее полному дифференциалу:
Решение. Воспользуемся первой из формул (12.1), выбрав за начальную точку 
. Такой выбор вызван тем, что при 
функции 
и 
не определены. Получим
Поскольку 
также является постоянной, то окончательный ответ можно записать в виде 
.
Пример 7. Материальная точка массой 
движется по эллипсу :
в положительном направлении под действием пере-
менной силы 
, где 
– угловое ускорение. Вычислить циркуляцию вектора 
вдоль контура 
Решение. Запишем параметрические уравнения эллипса
Циркуляция вектора вдоль контура равна
где – работа силы вдоль контура .
