В результате развития радиотехники и математического анализа была создана теория сигналов на основе функционального анализа, в котором сигнал представляется как вектор в специальном бесконечномерном линейном пространстве. Это дало возможность говорить о величине сигнала, проводить сравнительный анализ сигналов и т. д. Линейное множество сигналов наделено специальной структурой, причем выбор структуры диктуется физическими соображениями (например, электрические сигналы складываются, умножаются и т. д.).
- В линейном пространстве сигналов вводится координатный базис (координатные оси). Вектора координатного базиса ei линейно независимы, то есть выполняется соотношение:
| (4) |
Если дано разложение сигнала S(t) в виде:
| (5) |
то числа Ci являются проекциями сигнала S(t) относительно выбранного базиса.
- Норма – длина сигнала в линейном пространстве сигналов, вводится для количественной оценки сигналов. Вводится понятие нормы для:
действительных аналоговых сигналов:
| (6) |
комплексных сигналов:
| (7) |
дискретных сигналов:
| (8) |
Линейное пространство становится нормированным.
- Энергия сигнала – квадрат нормы.
| (9) |
- Метрика – расстояние между сигналами в нормированном линейном пространстве. Обычно метрику определяют как норму разности двух сигналов:
| (10) |
Зная метрику можно судить о том, насколько хорошо один из сигналов аппроксимирует другой. Линейное нормированное пространство становится метрическим. 
- Угол между двумя сигналами метрического нормированного линейного пространства определяется из их скалярного произведения:
| (11) |
Косинус угла между сигналами:
| (12) |
Линейное пространство с таким скалярным произведением называется Гильбертовым.
- Ортогональные сигналы. Два сигнала называются ортогональными, если их скалярное произведение (а также и взаимная энергия) равно нулю.
| (13) |
В Гильбертовом пространстве задается ортонормированный базис, для которого определяется соотношение:
| (14) |
Примером ортонормированного базиса может служить система тригонометрических функций с кратными частотами, дополненная постоянным сигналом.
- Обобщенный ряд Фурье. Произвольный сигнал S(t) в Гильбертовом пространстве можно разложить в обобщенный ряд Фурье в выбранном базисе:
| (15) |
где Сi – коэффициенты ряда, определяющиеся с учетом ортонормированности выбранного базиса (при i=k):
| (16) |
Геометрическая интерпретация: Ск – проекция вектора на базисное направление.
