Методы представления сигналов

В результате развития радиотехники и математического анализа была создана теория сигналов на основе функционального анализа, в котором сигнал представляется как вектор в специальном бесконечномерном линейном пространстве. Это дало возможность говорить о величине сигнала, проводить сравнительный анализ сигналов и т. д. Линейное множество сигналов наделено специальной структурой, причем выбор структуры диктуется физическими соображениями (например, электрические сигналы складываются, умножаются и т. д.).

- В линейном пространстве сигналов вводится координатный базис (координатные оси). Вектора координатного базиса e_i линейно независимы, то есть выполняется соотношение:

 

(4)

Если дано разложение сигнала S(t) в виде:

 

(5)

 

то числа C_i являются проекциями сигнала S(t) относительно выбранного базиса.

- Норма – длина сигнала в линейном пространстве сигналов, вводится для количественной оценки сигналов. Вводится понятие нормы для:

действительных аналоговых сигналов:

 

(6)

 

комплексных сигналов:

(7)

 

дискретных сигналов:

(8)

 

Линейное пространство становится нормированным.

- Энергия сигнала – квадрат нормы.

 

(9)

 

- Метрика – расстояние между сигналами в нормированном линейном пространстве. Обычно метрику определяют как норму разности двух сигналов:

 

(10)

 

Зная метрику можно судить о том, насколько хорошо один из сигналов аппроксимирует другой. Линейное нормированное пространство становится метрическим.

- Угол между двумя сигналами метрического нормированного линейного пространства определяется из их скалярного произведения:

 

(11)

 

Косинус угла между сигналами:

 

(12)

 

Линейное пространство с таким скалярным произведением называется Гильбертовым.

- Ортогональные сигналы. Два сигнала называются ортогональными, если их скалярное произведение (а также и взаимная энергия) равно нулю.

 

(13)

 

В Гильбертовом пространстве задается ортонормированный базис, для которого определяется соотношение:

 

(14)

 

Примером ортонормированного базиса может служить система тригонометрических функций с кратными частотами, дополненная постоянным сигналом.

- Обобщенный ряд Фурье. Произвольный сигнал S(t) в Гильбертовом пространстве можно разложить в обобщенный ряд Фурье в выбранном базисе:

 

(15)

 

где С_i – коэффициенты ряда, определяющиеся с учетом ортонормированности выбранного базиса (при i=k):

 

(16)

 

Геометрическая интерпретация: С_к – проекция вектора на базисное направление.