Оценка точности результатов измерений

 

Точность результатов многократных измерений одной и той же величины оценивают в такой последовательности.

1. Находят вероятнейшее (наиболее точное для данных усло­вий) значение измеренной величины по формуле арифметичес­кой средины х= [ l ]/п.

2. Вычисляют отклонения δ_i = l _i – x каждого значения измерен­ной величины l ₁, l ₂, … l _n от значения арифметической средины. Контроль вычислений: [δ] = 0.

3. По формуле Бесселя (19.2) вычисляют среднюю квадратическую погрешность одного измерения.

4. По формуле (19.3) вычисляют среднюю квадратическую по­грешность арифметической середины.

5. Если измеряют линейную величину, то подсчитывают отно­сительную среднюю квадратичную погрешность каждого изме­рения и арифметической средины.

6. При необходимости подсчитывают предельную погрешность одного измерения, которая может служить допустимым значени­ем погрешностей аналогичных измерений.

 

Таблица 20.1

 

№ п\п	l, м	δ, см	δ2, см2	Вычисления
	121,75	-1		см M = 4,0/ = 1,6см ml / l = 1/3000 M/ l = 1/7600 ∆пр. = 12см
	121,81	+5
	121,77	+1
	121,70	-6
	121,73	-3
	121,79	+3
Среднее	121,76	∑ =- 1	∑ = 81

 

Таблица 20.2

№ п/п	Время измерения, ч	t1, Cº	t2 Cº	tср= (t1+t2)/2	d= (t1-t2)	d2	Вычисления
		12,4	12,6	12,5	-0,2	0,04	m = = 0,17 Сº   Mtср= 0,5 = 0,12 Cº
		11,7	12,0	11,8	-0,3	0,09
		12,0	12,0	12,0
		15,1	14,7	14,9	+0,4	0,16
		16,0	15,8	15,9	+0,2	0,04
		20,5	20,6	20,6	-0,1	0,01
		24,9	25,2	25,0	-0,3	0,09
		25,2	25,2	25,2
		24,4	24,2	24,3	+0,2	0,04
		20,1	20,0	20,0	+0,1	0,01
II		16,1	16,4	16,2	-0,3	0,09
		13,5	13,4	13,4	+0,1	0,01
					∑= =-0,2	∑= =0,58

Примечание. Если в округляемом числе последняя цифра 5, то ее округляют до четной цифры, например: 10,375 - до 10,38; 0,245 - до 0,24.

 

Пример20.1. Длина линии местности измерена шесть раз. Требуется определить вероятнейшее значение длины линии и оценить точность вы­полненных измерений. Результаты измерений и вычислений записывают по форме, приведенной в табл.20.1.

Пример20.2. На метеостанции температура воздуха измерялась в раз­ное время суток двумя одинаковыми термометрами.

Требуется определить среднюю квадратичную погрешность измере­ния температуры воздуха одним термометром и среднего значения из одновременных измерений двумя термометрами. Значения измеренных температур воздуха и оценку точности измерений записывают по фор­ме, приведенной в табл. 20.2.

Оценку точности по разностям двукратных измерений производят в такой последовательности. 1. Вычисляют среднее значение из двукратных измерений. 2. Вычисляют разности d двукратных измерений. 3. По форму­ле (19.4) вычисляют среднюю квадратичную погрешность одного изме­рения 4,0см. По формуле (19.5) вычисляют среднюю квадратичную погреш­ность среднего результата из двух измерений.

 

Назад

 

СРЕДНЯЯ КВАДРАТИЧЕСКАЯ ОШИБКА ФУНКЦИИ

ИЗМЕРЕННЫХ ВЕЛИЧИН

В тех случаях, когда пользуются косвенными методами измере­ний, ошибка результата зависит как от ошибок измеренных ве­личин, так и действий, с помощью которых вычислен искомый результат. Поэтому определение ошибок функций измеренных величин m_f имеет большое практическое значение.

Рассмотрим функцию z самого общего вида от многих независимых величин l ₁, l ₂,…, l _n:

 

z = f (l ₁, l ₂… l _n). (21.1)

 

С учетом ошибок измерений, можно записать

 

z +Δz = f (l ₁ + Δ l ₁, l ₂ + Δ l ₂, … l _n + Δ l _n).

 

Поскольку Δ l ₁, Δ l ₂, …, Δ l _n малы, то функцию можно разложить в ряд Тейлора, ограничиваясь членами, содержащими только первые степени ошибок Δ l ₁, Δ l ₂, … Δ l _n. При разложении в ряд применяются частные производные, так как в уравнении имеются несколько переменных аргументов.

 

 

z + Δz = f (l ₁, l ₂, … l _n) + (),

откуда

 

Δz = . (21.2)

 

Для удобства записи примем, что

 

(i = 1, 2, …, n),

тогда уравнение (21.2) примет вид

 

Δz = K ₁Δ l ₁ + K ₂Δ l ₂ +… + K _nΔ l _n, (21.3)

 

где K ₁, K ₂, … K _n – постоянные числа.

Возведем уравнение (21.3) в квадрат и разделим на n

 

 

Если выполнен ряд измерений, то можно получить n аналогичных равенств, просуммировав которые можно получить уравнение

 

(21.4)

но так как

 

[Δ l_i Δ l_{i+ 1}] = 0,

то

 

,

и учитывая, что

а

то

(21.5)

т.е. квадрат средней квадратической ошибки функции общего вида равен сумме квадратов произведений частных производных по каждому аргументу на среднюю квадратическую ошибку соответствующего аргумента.Назад

РАЗДЕЛ 2

 

ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ИЗМЕРЕНИЯ

ГЛАВА 5

 

ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИНЫ ЛИНИЙ

 

ВВОДНЫЕ СВЕДЕНИЯ

Измерения – процесс сравнения какой-либо величи­ны с другой одноименной величиной, принимаемой за единицу.

Геодезические измерения позволяют определять от­носительное взаимное расположение отдельных точек земной поверхности. Геодезические измерения бывают: 1) линейными, в результате которых на местности определяются расстояния между заданными точками; 2) угловыми, определяющими значения горизонталь­ных и вертикальных углов на земной поверхности в дан­ных вершинах между направлениями на некоторые за­данные точки; 3) высотными (нивелирование), в ре­зультате которых определяются разности высот отдель­ных точек, т. е. разности расстояний по нормали от при­нятой отсчетной поверхности до данных точек.

В России для перечисленных видов геодезических измерений используются следующие единицы:

а) в линейных измерениях (горизонтальных и вертикальных) – метр. Эталон длины метра физиче­ски реализован в виде однометрового платино-иридиево­го жезла № 28, хранящегося во Всероссийском научно-ис­следовательском институте метрологии;

б) в угловых измерениях – окружность и ее доли – градус, равный 1/360 окружности; минута, равная 1/60 градуса; секунда, равная 1/60 минуты. В некоторых странах, например в ФРГ, применяется градовая (мет­рическая) система: 1 град, равный 1/400 окружности; 1 минута, равная 1/100 града; 1 секунда, равная 1/100 ми­нуты.

Измерение расстояний производят непосредственным или косвенным методами. При непосредственном методе мерный прибор (измерительную рулетку, землемерную ленту и т. п.) последовательно укладывают в створе изме­ряемого отрезка. При косвенном методе измеряют вспо­могательные параметры (углы, базисы, физические пара­метры и т. п.), а длину отрезка вычисляют по формуле, отображающей зависимость между измеренными вели­чинами и длиной отрезка. Непосредственно длины отрезков измеряются с помощью механических мерных приборов – мерных лент, рулеток, длинномеров и т. д. Косвенные методы реализуются с использованием различных видов дальномеров – оптических, радиофизических, лазерных и т. д.

Точность определения расстояний зависит от метода измерений, применяемого прибора, условий измерений и колеблется от 1:200 до 1:1000 000 измеряемого рас­стояния. Назад