Использование моделей теории массового обслуживания

Модели теории массового обслуживания используются для определения оптимального числа каналов обслуживания по отношению к потребности в них. К ситуациям, в которых модели теории массового обслуживания могут быть полезны, можно отнести ожидание клиентами банка свободной кассы. Т.О. принципиальная проблема заключается в уравновешивании расходов на дополнительные каналы обслуживания: требуется больше людей для разгрузки грузов, больше кассиров и потерь от обслуживания на уровне ниже оптимального.

Так, модели очередей снабжают руководство инструментом определения оптимального числа каналов обслуживания, которые необходимо иметь, чтобы в случаях чрезмерно большого их количества сбалансировать издержки. В настоящее время теоретически наиболее разработаны и удобны в ток требований простейший (пуассоновский)

Для простейшего потока частота поступления требования в систему подчиняется закону Пуассона, т.е. вероятность поступления Р(Т) за время равное т равно к требования задается формулой:

Важная характеристика систем массового обслуживания – время обслуживания требований в системе. Время обслуживания одного требования – это случайная величина, может быть описано законом распределения. Наибольшее распространение в теории получил экспоненциальный закон распределения времени обслуживания. Функция распределения имеет вид:

Т.е. вероятность того, что время обслуживания не превосходит некоторой величины т, определяется этой формулой, где -параметр экспоненциального закона распределения времени, необходимого для обслуживания требования в системе, т.е величина, обратная среднему времени обслуживания то.б:

Рассмотрим аналитические модели наиболее распространенных систем массового обслуживания с ожиданием, т.е. таких систем, в которых требования, поступившие в момент, когда все обслуживающие каналы заняты, ставятся в очередь и обслуживаются по мере освобождения каналов.

Общая постановка задачи состоит в следующем. Система имеет н обслуживающих каналов, каждый из которых может одновременно обслужить только одно требование. В систему поступает простейший поток требований с параметром лямбда

Если в момент поступления очередного требования в системе на обслуживании уже находятся не меньше н требований, то это требование становится в очередь и ждет начала обслуживания.

Системы массового обслуживания с ожиданием можно разбить на замкнутые и разомкнутые. К замкнутым относятся системы, в которых поступающий поток требований возникает в самой системе и ограничен. Если питающий источник обладает бесконечным числом требований, то и системы называются разомкнутыми, для них поток требований можно считать неограниченным.

Отмеченные особенности функционирования систем этих двух видоав накладывают определенные условия на используемый математический аппарат. Расчет характеристик работ систем массового обслуживания различного вида может быть проведен на основе расчета вероятностей состояния систем (формулы Эрланга)

Важнейшие характеристики систем массового обслуживания:

1)вероятность того, что все обслуживающие каналы свободны;

2)вероятность того, что занято ровно к обслуживающих каналов при условии, что общее число требований не превосходит числа обслуживающих аппаратов;

3)вероятность того, что в системе находится к требований в случае, когда их число больше числа обслуживающих каналов;

4)вероятность того, что все обслуживающие каналы заняты;

5)среднее время ожидания требования в системе;

6)средняя длина очереди;

7)среднее число свободных от обслуживания каналов;

8)коэффициент простоя каналов;

9)среднее число занятых обслуживанием каналов;

10)коэффициент загрузки каналов.