Адиабатический процесс. Уравнение Пуассона

Процесс, происходящий без подвода и отвода тепла, называется адиабатическим. Применим I закон термодинамики для определения связи между параметрами, определяющими состояние идеального газа, когда газ совершает адиабатический процесс.

Полагая в (1.13) dQ=0, dU=C_vdT, получим

C_vdT=-PdV (1.23)

Как следует из формулы (1.23) при адиабатическом расширении dV>0, dT<0, что значит температура тела понижается. Наоборот, при сжатии dV<0, dT>0 температура тела повышается. Это связано с тем, что адиабатически расширяющийся газ совершает работу за счёт собственной внутренней энергии, поэтому его температура понижается. Для получения уравнения адиабатического процесса, в переменных давление P и объём V, необходимо в уравнении (1.23) исключить температуру T. Это можно сделать, воспользовавшись уравнением состояния

,

дифференцирование которого даёт

PdV+ VdP=RdT

Откуда

(1.24)

Подставляя это значение dT в (1.23) получим

.

После замены R равным ему значением C_p-C_v=R и приведения к общему знаменателю имеем

C_VVdP+C_pPdV=0.

Обозначим отношение теплоёмкостей

тогда последнее уравнение принимает вид

.

Проинтегрируем это выражение в предположении, что g - постоянная величина:

.

После интегрирования получим

lnР+glnV=const,

или

=const, (1.25)

которое даёт искомое соотношение между давлением и объёмом идеального газа при адиабатическом процессе изменения объёма.

Уравнение (1.25) называется уравнением Пуассона или уравнением адиабаты, - показатель адиабаты.

Из уравнения Пуассона видно, что в отличие от изотермического процесса, при адиабатическом процессе давление газа меняется обратно не первой степени объёма, а V^g, причём g больше единицы, так как C_p>C_v.

Так как g>1, то кривая P=f(V) при адиабатическом процессе, называемая адиабатой, круче изотермы. Более крутое падение давления с увеличением объёма при адиабатном процессе объясняется тем, что при адиабатном расширении идеального газа его давление уменьшается не только за счёт увеличения объёма, но и вследствие происходящего при этом понижения температуры газа.

Нетрудно найти связь другими термодинамическими параметрами газа при адиабатическом процессе. Если мы хотим найти связи между V и T при адиабатическом процессе, то необходимо в уравнении Пуассона (1.25) исключить P, воспользуясь уравнением состояния. Поставив в (1.25)

получаем

,

или

. (1.26)

Здесь мы учли, что const/R также является постоянной величиной. Если в уравнение (1.25) вместо V поставим его значение

,

то получим

.

После преобразования

.

Возвысив обе части последнего равенства в степень 1/g, получаем

=const (1.27)

Уравнение (1.27) представляет уравнение адиабатического процесса в переменных P и T.