Решение прямых задач (вычисление координат т. P)

 

Обозначения	aD a¢D	sin aD sin a¢D	cos aD cos a¢D	D cos aD D cos a¢D	D sin aD D sin a¢D	DX-DX¢ DY-DY¢ smbD / r	XA YA	xp=xA+Dx x¢p=xA+Dx¢ yp=yA+Dy y¢p=yA+Dy¢
численные значения	8°18¢36¢¢ 8°18¢37¢¢	0.14453 0.14454	0.98950 0.98950	172.69 172.69	25.22 25.22	D=00.00 D=00.00 Dдоп=25см	6327.46 12351.48	6500.15 12376.70

 

Оценка точности определения положения пункта Р.

Средняя квадратическая погрешность определения отдельного пункта вычисляется по формулам: М_р² = m_х² + m_у², М_p² = m_D² + (D×m_a / r)², где m_D- определяется точностью линейных измерений, а m_a - точностью угловых измерений.

Примем следующие значения величин:

____________________

m_D= 2 см, m_a = 5¢¢, тогда М_p = Ö (0,02)² + ­(170 ×5 / 2·10⁵)²» 2 ×10 ^-2 м = 0,02 м.

 

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КООРДИНАТ ПУНКТА ПРЯМОЙ

ЗАСЕЧКОЙ (формулы Гаусса)

 

Для решения задачи с контролем необходимо иметь три твердых пункта. Формулы Гаусса применяются в том случае, когда между твердыми пунктами нет видимости.

Схема решения задачи представлена на рис. 5.2.

Исходные данные: твердые пункты A (X_A, Y_A), В (X_B,Y_B), С (X_C,Y_C); дирекционные углы твердых линий. Полевые измерения: горизонтальные углы b₁, b₂, b₃. Определяется пункт Р.

Формулы для решения задачи:

 

X_P- X_A= (X_A× tg a₁- Y_A- X_B× tg a₂+ Y_B) / (tg a₁- tg a₂) =

= ((X_A- X_B) × tg a₂- (Y_A- Y_B)) / (tg a₁- tg a₂),

 

X_P= X_A+ DX_A,

Y_P = (X_P- X_A) × tg a₁+ Y_A, Y_P= (X_P- X _A)× tg a₂+ Y_B.

 

Контроль вычислений:

 

tg a₁- tg a₂= (tg a₁ × tg a₂+ 1) × tg(a₁- a₂)

 

Если значение a₁или a₂ близко к 90° или 270°, то за окончательное значение Y_р берут то, которое получилось по меньшему по абсолютной величине значению тангенса. Для контроля вычисляют приращения координат с пункта В.

 

 

Рис. 5.2

 

 

Таблица 5.6

 

Определение координат пункта P

 

a1     a2	XA XB XA -XB	tg a1 tg a2 ( XA-XB)tg a2 tg a 1 -tg a 2	YA YB YA-YB	XA XP=XA+DXA	XP XA XP-XA	tg a1 (XP-XA)tg a1	YA   YP
30°29.4¢ 317°13.5¢	1380.25 1630.16 - 249.91	0.58881 -0.92520 +231.22 +1.51401	1260.50 3230.00 -1969.50	1453.57 2833.82	2833.82 1380.25 1453.57	+0.58881 +855.88	1260.50 2116.38
a2     a3	XB XC XB -XC	tg a2 tg a3 ( XB-XC)tg a3 tg a 2 -tg a 3	YB YC YB-YC	XB XP=XB+DXB	XP XB XP-XB	tg a2 (XP-XB)tg a2	YB   YP
317°13.5¢ 254°17.8¢	1630.16 3401.04 -1770.88	-0.92520 +3.55600 -6297.25 -4.48120	3230.00 4133.41 -903.41	1203.66 2833.82	2833.82 1630.16 1293.56	-0.92520 -1113.53	3230.00 2116.47
	Среднее			2833.82			2116.42

 

Контроль определения: для выявления ошибок полевые измерений задачу решают дважды: от пунктов А, В и, второй раз, от пунктов В, С.

Оценка точности определения пункта Р.

Расхождение между координатами пункта Р из двух решений определяется формулой

_____________________

r = Ö(X_P - X¢_P) ² + (Y_P - Y¢_P)² < 3 M_r;

_________

M _r = ÖM₁² + M₂²;

_________

M₁ = (mb × Ö(S₁² + S₂²) / (r × sin n₁));

________

M₂ = (mb × Ö(S₂² + S₃²) / (r × sin n₂)).

 

Длины линий S1, S2, S3 определяют из решения обратных геодезических задач.

При допустимости расхождений за окончательные значения принимают среднее арифметическое полученных координат пункта Р.

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КООРДИНАТ ПУНКТА ПРЯМОЙ

ЗАСЕЧКОЙ (формулы Юнга)

 

Для однократной засечки необходимо иметь два твердых пункта. Контроль определения осуществляется вторичной засечкой с третьего твердого пункта.

Схема решения задачи представлена на рис. 5.3.

Исходные данные: твердые пункты А (X_A, Y_A), В (X_B, Y_B), С (X_C,У_C).

Полевые измерения: горизонтальные углы b₁, b₂, b₁¢, b₂¢.

Определяется пункт Р.

Формулы для решения задачи:

 

X_P - X_A = ((X_B - X_A) ctg b₁ + (Y_B - Y_A)) / (ctg b₁ + ctg b₂);

 

X_P = X_A + DX_A;

 

 

 

Рис. 5.3

 

Оценка точности определения пункта Р.

Вычисление СКП из 1-го и 2-го определений.

_______

M₁ =(mb ÖS₁² + S₂²) / r sing₁;

_______

M₁ =(mb ÖS₁² + S₂²) / r sing₂.

 

Значения величин, входящих в приведенные формулы следующие: m_b = 5'¢, r =2062б5", g₁ = 73°15.9¢, g₂ = 62°55.7¢, S₁=1686,77 м; S₂ = 1639,80 м; S₃ = 2096, 62 м.

 

Стороны засечки найдены из решения обратных задач.

_________

М₁ = (5¢¢×Ö2.86 + 2.69 / (2 ×10⁵×0.958) = 0,06 м.

_________

М₂ = (5¢¢× Ö 2.69 + 4.41) / (2 ×10⁵×0.890) = 0,07 м.

________ _____________

М_r = Ö М₁² + М₂², M_r =Ö (0,06)² + (0,07)² = 0,09 м.

 

Расхождение между координатами из двух определений

____________________

r = Ö(X_P - X¢_P)² + (Y_P - Y¢_P)² не должно превышать величины 3 Mr.

____________________________________ _____

г = Ö(2833.82 - 2833.82)² + (2116.38 - 2116.32)² = Ö0.0­036 = = 0.06 м.

 

На основании неравенства r = 0,06 м < 3·0,09 можно сделать вывод о качественном определении пункта Р.

За окончательные значения координат при­нимают среднее из двух определений.

 

Таблица 5.8

Решение числового примера

 

b1     b2	XB XA XB -XA	ctg b1 ctg b2 ( XB-XA)ctg b1 ctg b 1 +ctg b 2	YB YA YB-YA	XA XP=XA+DXA	(YB-YA)ctg b1	YA YP=YA+DYA
52°16.7¢   54°27.4¢	1630.16 1380.25 +249.91	0.77349 0.71443 193.30 1.48792	3230.00 1260.50 +1969.50	1453.57 2833.82	1523.39	855.88 2116.38
b¢1     b¢2	XC XB XC -XB	ctg b¢1 ctg b¢2 ( XC-XB)ctg b¢1 ctg b¢ 1 +ctg b¢ 2	YC YB YC-YB		(YC-YB)ctg b¢1	DYB YP=YA+DYA
69°48.5¢ 47°15.8¢	3401.04 1630.16 +1770.88	0.36777 0.92402 651.28 1.29175	4133.41 3230.00 +903.41	1203.56 2833.82	332.24	- 1113.68 2116.32
					2833.82	2116.35