Двойной интеграл в прямоугольных координатах

Пусть функция f(x,y) определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области Д плоскости хОу. Разобьем область Д произвольным образом на n элементарных областей, имеющих площади S₁ , S₂,..., S_n и диаметры d₁,d₂,..., d_n (диаметром называется наибольшее из расстояний между двумя точками границы этой области). Выберем в каждой элементарной области произвольную точку P_i(x_i, y_i) и составим следующую сумму:

.

Такая сумма называется интегральной суммой.

Определение:

Предел интегральной суммы при условии, что число элементарных областей n ® и наибольший диаметр max d_k ® 0, называется двойным интегралом от функции f(x, y) по области Д, если этот предел существует и не зависит:

1) ни от способа разбиения области Д на элементарные области;

2) ни от способа выбора в них точек Р_i

.

Если f(x, y) > 0 в области Д, то двойной интеграл равен объему цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью z = f(x, y), сбоку - образующими параллельные оси Оz, а снизу - областью Д (лежащей на плоскости хОу).

Свойства двойного интеграла аналогичны свойствам определенного интеграла.

ВЫЧИСЛЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА

 

Существуют два основных вида области интегрирования:

1.Область интегрирования Д ограничена слева и справа прямыми х = а,

х = в (а < в), а снизу и сверху - непрерывными кривыми у = j₁(х) и у =j₂(х)

(j₁(х) £ j₂(х)), каждая из которых пересекается прямой, параллельной оси Оу, только в одной точке (рис. 1).

 

 

	У
				у = j(х)

 

 

				у = j1(х)
			Х

 

 

Рис. 1

 

		Х

 

 

Рис. 2

 

Вычисление двойного интеграла сводится к двукратному интегрированию

.

Интеграл называется внутренним. В нем х считается постоянной. Этот интеграл вычисляется в первую очередь. А потом вычисляется внешний интеграл по переменной х.

Для того, чтобы поставить пределы внутреннего интеграла, надо посмотреть на изменение у вдоль вектора от точки входа вектора в область Д (нижний предел) до точки выхода вектора из области Д (верхний предел). Пределы внешнего интеграла всегда постоянны и показывают пределы изменения переменной х.

2. Пусть область интегрирования Д ограничена снизу и сверху прямыми

у = с, у = d (с < d), а слева и справа - непрерывными кривыми х = Y₁(у), х = Y₂(у) (Y₁ (у) £ Y₁ (у)), каждая из которых пересекается горизонтальной прямой только в одной точке (рис. 2).

Тогда двойной интеграл по такой области вычисляется по формуле

,

причем сначала вычисляется внутренний интеграл, , в котором у считается постоянной.

ЗАДАЧА № 13

Вычислить повторные интегралы

1. ; 2. .

1.

.

2.

ЗАДАЧА № 14

Вычислить следующие двойные интегралы по области Д, ограниченные линиями

1. ; 2. .

1. ; .

 

.

 

2. ; ;

 

		X

 

 

 

=

=

=

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №4

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ