Интегрирование рациональных дробей

Выше было показано, что из неправильной рациональной дроби можно выделить целую часть и представить эту дробь как сумму целой ее части и правильной дроби. Поэтому будем рассматривать только интегрирование правильных дробей.

Всякую правильную рациональную дробь нужно представить в виде суммы простейших, которые имеют вид:

1. , 2. , 3. ,

где А, В, а, в, р, q - действительные числа.

Теперь нужно научиться всякую правильную рациональную дробь представить как сумму простейших. Для этого вначале разложим знаменатель этой дроби на произведение множителей типа (х - а) и (х² + рх + q), причем квадратный трехчлен х² + рх + q имеет дискриминант Д < 0. Если Д > 0, то такой квадратный трехчлен можно разложить на линейные множители:

x² + px + q = (x - x₁)(x - x₂), где х₁ и х₂ - корни данного трехчлена.

Будем руководствоваться следующими приемами:

1. Каждому линейному множителю вида (х - а) соответствует дробь , где А -

неизвестный пока коэффициент;

2. Каждому множителю (х - в)^к соответствует сумма из К простых дробей

;

3. Каждому множителю х² + рх + q (Д < 0) соответствует дробь вида .

ЗАДАЧА № 8

Найти неопределенный интеграл .

;

При х = а₂₃ получим: а₁₁а₂₃ + а₁₂ = В(а₂₃ - а₁₃).

При х = а₁₃ получим: а₁₁а₁₃ + а₁₂ = А(а₁₃ - а₂₃).

Отсюда

 

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Рассмотрим интегралы вида:

, где R - рациональная функция.

Такие интегралы вычисляются при помощи универсальной подстановки

. Тогда .

После подстановки интеграл примет вид где R₁(t) - рациональная функция.

ПРИМЕР:

.

Если интегралы имеют вид: , то выполняют подстановку tgx = z. Используя тригонометрические преобразования, получим

.

ПРИМЕР:

(выделим целую часть неправильной дроби)

.

Интегралы вида: .

Рассмотрим 2 случая.

Случай 1

Хотя бы один из показателей - целое положительное нечетное число. Если положительное нечетное число n, то применяется подстановка Sinx = t, если

m - нечетное положительное число, то используется подстановка Cosx = t.

Случай 2

Оба показателя степени m и n - положительные четные числа. В этом случае необходимо преобразовать подынтегральную функцию с помощью формул понижения степени.

ПРИМЕР:

Интегралы вида: .

Если степень подынтегральной функции n - целое положительное число, то такие интегралы вычисляются при помощи замены tgx = t или ctgx = t.

Интегралы вида: .

В результате использования тригонометрических формул

подынтегральные функции удается представить в виде суммы функций.

ПРИМЕР:

ЗАДАЧА № 9

Найти неопределенный интеграл .

=

=

ЗАДАЧА № 10

Найти неопределенный интеграл .

=

=

 

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Пусть функция f(x) определена на отрезке [ a, в ]. Разделим отрезок

[ a, в ] на n произвольных частей точками а = х₀ < х₁ < х₂ <... < х_n-1 < х_n = в.

Выберем на каждом элементарном отрезке [ X_k-1, X_k ] произвольную точку С_k, обозначим длину элементарного отрезка через х_k = x_k - x_k-1­.

Интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [ a, в ] называется сумма вида

.

Определение:

Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [ a, в ] называется предел интегральной суммы при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков стремится к нулю .