Выше было показано, что из неправильной рациональной дроби можно выделить целую часть и представить эту дробь как сумму целой ее части и правильной дроби. Поэтому будем рассматривать только интегрирование правильных дробей.
Всякую правильную рациональную дробь нужно представить в виде суммы простейших, которые имеют вид:
1. 
, 2. 
, 3. 
,
где А, В, а, в, р, q - действительные числа.
Теперь нужно научиться всякую правильную рациональную дробь представить как сумму простейших. Для этого вначале разложим знаменатель этой дроби на произведение множителей типа (х - а) и (х2 + рх + q), причем квадратный трехчлен х2 + рх + q имеет дискриминант Д < 0. Если Д > 0, то такой квадратный трехчлен можно разложить на линейные множители:
x2 + px + q = (x - x1)(x - x2), где х1 и х2 - корни данного трехчлена.
Будем руководствоваться следующими приемами:
1. Каждому линейному множителю вида (х - а) соответствует дробь , где А -
неизвестный пока коэффициент;
2. Каждому множителю (х - в)к соответствует сумма из К простых дробей
;
3. Каждому множителю х2 + рх + q (Д < 0) соответствует дробь вида .
ЗАДАЧА № 8
Найти неопределенный интеграл 
.
;
При х = а23 получим: а11а23 + а12 = В(а23 - а13).
При х = а13 получим: а11а13 + а12 = А(а13 - а23).
Отсюда
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Рассмотрим интегралы вида:
, где R - рациональная функция.
Такие интегралы вычисляются при помощи универсальной подстановки
. Тогда 
.
После подстановки интеграл примет вид 
где R1(t) - рациональная функция.
ПРИМЕР:
.
Если интегралы имеют вид: 
, то выполняют подстановку tgx = z. Используя тригонометрические преобразования, получим
.
ПРИМЕР:
(выделим целую часть неправильной дроби)
.
Интегралы вида: 
.
Рассмотрим 2 случая.
Случай 1
Хотя бы один из показателей - целое положительное нечетное число. Если положительное нечетное число n, то применяется подстановка Sinx = t, если
m - нечетное положительное число, то используется подстановка Cosx = t.
Случай 2
Оба показателя степени m и n - положительные четные числа. В этом случае необходимо преобразовать подынтегральную функцию с помощью формул понижения степени.
ПРИМЕР:
Интегралы вида: 
.
Если степень подынтегральной функции n - целое положительное число, то такие интегралы вычисляются при помощи замены tgx = t или ctgx = t.
Интегралы вида: 
.
В результате использования тригонометрических формул
подынтегральные функции удается представить в виде суммы функций.
ПРИМЕР:
ЗАДАЧА № 9
Найти неопределенный интеграл 
.
= 
= 
ЗАДАЧА № 10
Найти неопределенный интеграл 
.
= 
= 
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Пусть функция f(x) определена на отрезке [ a, в ]. Разделим отрезок
[ a, в ] на n произвольных частей точками а = х0 < х1 < х2 <... < хn-1 < хn = в.
Выберем на каждом элементарном отрезке [ Xk-1, Xk ] произвольную точку Сk, обозначим длину элементарного отрезка через 
хk = xk - xk-1.
Интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [ a, в ] называется сумма вида
.
Определение:
Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [ a, в ] называется предел интегральной суммы при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков стремится к нулю 
.
