Якщо функція 
неперервна на 
, тоді вона інтегровна на ньому, тобто існує визначений інтеграл: 
, де числа 
і 
називаються нижньою і верхньою межею інтегрування функції відповідно. Відзначимо деякі основні властивості визначеного інтеграла, а саме:
(29)
Щоб обчислити визначений інтеграл, скористаємось основною формулою інтегрального числення (формула Ньютона-Лейбніца)
(30)
де 
– первісна функції .
Приклад 1. Обчислити інтеграл 
Приклад 2. Обчислити інтеграл 
Зробивши заміну в підінтегральному виразі, ми одразу змінили межі інтегрування: коли 
і при 
Приклад 3. Обчислити площу фігури, яка обмежена графіками функцій 
і 
Якщо фігура обмежена графіками неперервних функцій 
і 
то її площа може бути обрахована за формулою:
(31)
Знайдемо спочатку абсциси точок перетину цих функцій, які і будуть межами інтегрування: 
і 
За формулою (31) маємо:
.
Приклад 4. Визначити роботу, необхідну для запуску супутника масою т з поверхні Землі вертикально вверх на висоту 
.
Робота змінної сили по переміщенню тіла з початкової точки в кінцеву точку 
визначається за формулою:
(32)
Згідно із законом Ньютона, сила притягання супутника Землею визначається за формулою 
, де 
– гравітаційна стала, М – маса Землі, х – відстань від супутника до центра Землі: 
де 
– радіус Землі. За формулою (32) маємо:
Тут ми врахували той факт, що при 
сила притягання супутника Землею дорівнює його вазі, тобто: 
(прискорення вільного падіння біля поверхні Землі).
Нехай функція визначена, наприклад, на проміжку 
та інтегровна на будь-якому відрізку 
Тоді скінчену границю
(33)
називають невласним інтегралом першого роду.
Приклад 5. Обчислити інтеграл 
Приклад 6. Обрахувати роботу, необхідну для виведення супутника в міжпланетний простір. Це означає, що 
(див. приклад 4). Отже, 
Нехай функція визначена, наприклад, на проміжку 
Точку будемо називати особливою, якщо функція не обмежена в будь-якому її околі, але обмежена та інтегровна на відрізку 
. Тоді скінчену границю
(34)
називають невласним інтегралом другого роду.
Приклад 7. Обчислити інтеграл 
Точка 
є особливою для підінтегральної функції. Згідно з формулою (34) маємо:
Окремо дослідимо поведінку інтеграла при 
:
(інтеграл розбігається).
Нехай функція визначена та інтегровна на 
. Тоді числа
(35)
при 
(п – цілі числа), (36)
(37)
називають коефіцієнтами Фур’є, а ряд
(38)
називається рядом Фур’є функції .
Якщо функція парна, тоді при її інтегруванні за симетричними межами справедлива формула:
(39)
Якщо функція непарна, тоді інтеграл від неї за симетричними межами тотожно дорівнює нулю.
Зауваження. Якщо функція парна, тоді коефіцієнти 
, а якщо непарна, тоді коефіцієнти 
.
Приклад 8. Розкласти в ряд Фур’є на 
функцію 
. Оскільки функція є парною 
тоді і 
Отже, шуканий ряд Фур’є функції має такий вигляд:
Завдання для самостійної роботи
1. Доведіть, що 
2. Доведіть, що: 1) 
3. Доведіть, що послідовність 
має границю, рівну 2.
4. Доведіть, що 
У задачах 5 – 18 знайдіть границі:
5. 
8. 
9. 
12. 
14. 
16. 
Шляхом порівняння з гармонічним рядом або зі спадною геометричною прогресією дослідіть збіжність рядів:
19. 
За допомогою ознаки Даламбера дослідіть на збіжність рядів:
22. 
Дослідіть збіжність рядів:
24. 
Дослідіть на абсолютну та умовну збіжність такі ряди:
33. 
Знайти радіус та інтервал збіжності ряду і дослідити його збіжність на межах інтервалу:
34. 
У задачах 38 – 42 знайдіть область визначення функцій, які задані формулами:
38. 
41. 
Знайдіть границі:
43. 
46. 
47. 
50. 
У задачах 52 – 54 знайдіть, яка з функцій є парною, непарною і яка не є ні парною, ні непарною:
52. 
У задачах 55 – 56 знайдіть період функцій:
55. 
У задачах 57 – 68 знайдіть похідні функцій:
68. 
69. Складіть рівняння дотичної до графіків функцій:
1) 
– у точках перетину з віссю Ох;
2) 
– у точці перетину з віссю Ох;
3) 
– у точці перетину з віссю Оу.
70. Коло задано рівнянням 
Знайдіть рівняння дотичних до кола в точках його перетину з віссю Ох.
У задачах 71 – 75 знайдіть диференціали функцій:
71. 
74. 
75. 
У задачах 76 – 78 знайдіть похідну другого порядку від функцій:
76. 
У задачах 79 – 81 знайдіть похідну третього порядку від функцій:
79. 
У задачах 82 –90 знайдіть границі за правилом Лопіталя:
91. Розкладіть многочлен 
за степенями 
за формулою Тейлора.
92. Розкладіть функцію 
за формулою Маклорена до члену з 
включно.
93. Розкладіть функції за формулою Маклорена:
1) 
до члена з 
включно; 2) 
до члена з 
;
3) 
до члена з 
; 4) 
до члена з .
У задачах 94 – 99 розкладіть функції в ряд Маклорена і знайдіть їх інтервали збіжності:
94. 
97. 
98. 
У задачах 100 – 104, використавши розклад Маклорена для відповідних функцій, знайдіть границі:
100. 
102. 
103. 
105. Знайдіть максимуми та мінімуми функцій:
106. Знайти точки перегину графіка функцій:
107. Знайдіть асимптоти графіків функцій:
У задачах 108 – 115 побудуйте графіки функцій:
108. 
112. 
У задачах 116 – 121 знайдіть частинні похідні від функцій:
116. 
119. 
122. Для функції 
доведіть, що 
123. Знайдіть похідну за напрямком функції 
Розгляньте напрямок, паралельний бісектрисі першого координатного кута.
124. Знайдіть похідну функції 
у точці 
за напрямком вектора 
, де 
– точка з координатами 
У задачах 125 – 128 знайти 
:
125. 
у точці 
126. 
у точці 
127. 
у точці 
128. 
у точці 
У задачах 129 – 132 знайдіть частинні похідні другого порядку:
129. 
.
133. Для функції 
доведіть, що 
У задачах 134 – 137 знайдіть екстремуми функцій:
134. 
136. 
138. Нехай у результаті експерименту отримано п’ять значень шуканої функції у при п’яти значеннях її аргументу х:
| х | -2 | ||||
| у | 0.5 | 1.5 |
Знайдіть функціональну залежність між х та у у вигляді лінійної функції 
У задачах 139 – 141, безпосередньо інтегруючи, знайдіть інтеграли:
У задачах 142 – 155 за методом підстановки знайдіть інтеграли:
142. 
143. 
144. 
145. 
146. 
147. 
148. 
149. 
150. 
151. 
152. 
153. 
154. 
155. 
У задачах 156 – 161 за допомогою методу інтегрування частинами знайдіть інтеграли:
156. 
157. 
158. 
159. 
160. 
161. 
У задачах 162 – 193 обчисліть інтеграли:
162. 
163. 
164. 
165. 
166. 
167. 
168. 
169. 
170. 
171. 
172. 
173. 
174. 
175. 
176. 
177. 
178. 
179. 
180. 
181. 
182. 
183. 
184. 
185. 186.
187. 
188. 
189. 
190. 
191. 
192. 
193. 
У задачах 194 – 201 обчисліть визначені інтеграли:
194. 
195. 
196. 
197. 
198. 
199. 
200. 
201. 
У задачах 202 – 206 знайдіть площу фігур, обмежених лініями:
202. 
203. 
204. 
205. 206. 
У задачах 207 – 217 дослідіть збіжність інтегралів:
207. 
208. 
209. 
210. 
211. 
212. 
213. 
214. 
215. 
216. 
217. 
У задачах 218 – 220 розкладіть функції в ряд Фур’є на відрізку 
:
218. 
219. 
220. 
У задачах 221 – 222 розкладіть функції в ряд Фур’є на відрізку 
:
221. 
222. 
